初二下期末几何压轴题及解析.doc

|初二下期末几何及解析1、以四边形 ABCD的边 AB、AD 为边分别向外侧作等边三角形 ABF和 ADE，连接 EB、FD，交点为 G（1）当四边形 ABCD为正方形时（如图 1） ，E B和 FD的数量关系是_；（2）当四边形 ABCD为矩形时（如图 2） ，EB 和 FD具有怎样的数量关系?请加以证明；（3）四边形 ABCD由正方形到矩形到一般平行四边形的变化过程中，EGD 是否发生变化?如果改变，请说明理由；如果不变，请在图 3中求出EGD 的度数难度一般：证全等即可（第三问，图 1中就能看出是 45°。 ）解 （1）EB =FD 。 （2）EB=FD。证：AFB 为等边三角形,AF=AB，FAB=60°ADE 为等边三角形，AD=AE，EAD=60°,FAB+BAD=EAD+BAD即FAD=BAE,FADBAE,EB=FD（3）解：ADE 为等边三角形，AED=EDA=60°FADBAE，AEB=ADF设AEB 为 x°，则ADF 也为 x°于是有BED 为（60-x）°，EDF 为（60+x）°EGD=180°-BED-EDF=180°-（60-x）°-（60+x）°=60°2、已知：如图，在 ABCD 中，点 E 是 BC 的中点，连接 AE 并延长交 DC 的延长线于点 F，连接 BF（1）求证：ABEFCE；（2）若 AF=AD，求证：四边形 ABFC 是矩形简单题证明：（1）如图 1在ABE 和FCE 中，1=2， 3=4，BE=CE ，ABE FCE（2）ABEFCE， AB=FCABFC， 四边形 ABFC 是平行四边形 四边形 ABCD 是平行四边形，AD=BCAF=AD，AF =BC四边形 ABFC 是矩形FAB CDE图 143 21EDCBAF|3、已知：ABC 是一张等腰直角三角形纸板，B=90°，AB=BC=1（1）要在这张纸板上剪出一个正方形，使这个正方形的四个顶点都在ABC 的边上小林设计出了一种剪法，如图 1 所示请你再设计出一种不同于图 1 的剪法，并在图 2 中画出来（2）若按照小林设计的图 1 所示的剪法来进行裁剪，记图 1 为第一次裁剪，得到 1 个正方形，将它的面积记为 ，则 =_；余下的 2 个三角形中还按照小林设计的剪法进行第二次裁剪（如图 3） ，1S得到 2 个新的正方形，将此次所得 2 个正方形的面积的和记为 ，则 =_；在余下的 4 个三角2S形中再按照小林设计的的剪法进行第三次裁剪（如图 4） ，得到 4 个新的正方形，将此次所得 4 个正方形的面积的和记为 ；按照同样的方法继续操作下去，第 次裁剪得到_个新的正方形，它们的面3S n积的和 =_n（题外题：把你剪出的正方形的面积与图 1 中的正方形面积进行比较。 ）本题相当于中考 12 题的简单题解：（1）如图 2； -1 分（2） ， ， ， -6 分1481n24、已知：如图，平面直角坐标系 中，正方形 ABCD 的边长为 4，它的顶点 A 在 轴的正半轴上运动，xOy x顶点 D 在 轴的正半轴上运动（点 A，D 都不与原点重合） ，顶点 B，C 都在第一象限，且对角线 AC，BDy相交于点 P，连接 OP（1）当 OA=OD 时，点 D 的坐标为_，POA=_°；（2）当 OA<OD 时，求证： OP 平分DOA；（3）设点 P 到 y 轴的距离为 ，则在点 A，D 运动的d过程中， 的取值范围是 _d（第二问：如果点 P 到 OP“所平分的角”的两边的距离相等，即可。 ） （第二问的题外题：当 OAOD 时，求证：OP 平分DOA；）图 1EFAB CD图 2AB C图 3CBAFED图 4AB CFED图 2CBAA BCD PO xy|解：（1）( )， ； 0,245证明：（2）过点 P 作 PM 轴于点 M，PN 轴于点 N （如图 3）xy四边形 ABCD 是正方形， PD=PA， DPA=90° PM 轴于点 M，PN 轴于点 N，xyPMO=PNO=PND=90°NOM=90° ， 四边形 NOMP 中，NPM=90°DPA=NPM1=DPANPA， 2=NPMNPA ，1=2 在DPN 和APM 中， PND =PMA，1=2，PD=PA，DPNAPM PN=PM OP 平分DOA （3） -2d5、已知：如图，平面直角坐标系 中，矩形 OABC 的xOy顶点 A，C 的坐标分别为（4,0 ） ， （0,3） 将OCA 沿直线 CA翻折，得到DCA，且 DA 交 CB 于点 E（1）求证：EC=EA；（2）求点 E 的坐标；（3）连接 DB，请直接写出四边形 DCAB 的周长和面积（第二问，有坐标，用代数法勾股定理可得 CE=AE 的长）（第三问的证明：过 D 做 DMAC 于 M，过 B 做 BNCA 于 N，则由相似可得，DM=BN= 梯形的高（能求出具体数） ，CM=AN（具体数）还看得 DB=MN（具体数）这样即可求出周长，有可求出面积。 ）证明：（1）如图 1OCA 沿直线 CA 翻折得到DCA，OCADCA 1=2四边形 OABC 是矩形，OACB1=32= 3EC=EA 解：（2）设 CE= AE= x点 A，C 的坐标分别为（4,0 ） ， （0,3） ，OA=4，OC=3四边形 OABC 是矩形，CB= OA=4，AB=OC=3， B=90°在 Rt EBA 中， ，22EBA 解得 点 E 的坐标为( ) 2(4)3x58x25,38（3） ， 65196、已知：ABC 的两条高 BD，CE 交于点 F，点 M，N 分别是 AF，BC 的中点，连接 ED，MN（1）在图 1 中证明 MN 垂直平分 ED；（2）若EBD=DCE=45°（如图 2） ，判断以 M， E， N， D 为顶点的四边形的形状，并证明你的结论第一问，连接 EM，EN，DM，DN，利用三角形斜边中线等于斜边一半得，图 312MNyxOPDCBANMAB CDEFNMFE DCBA图 2EBADCyxO|ME=MD，NE=ND，所以点 M、N 都在线段 ED 的垂直平分线上。（有ADF BDC，得 AF=BC， （还得MDA=NDB，证直角时用） ，进而得菱形，再证一直角得正方形， ）（1）证明：连接 EM，EN，DM ，DN （如图 2）BD，CE 是ABC 的高，BDAC，CEAB BDA=BDC=CEB= CEA=90° 在 RtAEF 中，M 是 AF 的中点，EM= AF12同理，DM = AF，EN= BC，DN= BC12EM=DM ， EN=DN 点 M，N 在 ED 的垂直平分线上 MN 垂直平分 ED （2）判断：四边形 MEND 是正方形 证明：连接 EM，EN，DM，DN （如图 3）EBD=DCE=45°，而BDA=CDF=90°，BAD=ABD =45°，DFC=DCF=45°AD=BD ， DF=DC在ADF 和BDC 中，AD=BD，ADF=BDC， （Rt）DF=DC，ADFBDC AF =BC，1=2由（1）知 DM= AF=AM，DN= BC=BN，121DM=DN ， 1=3，2=43=4由（1）知 EM=DM，EN=DN，DM= DN=EM=EN四边形 MEND 是菱形 3+MDF=ADF =90°，4+MDF =NDM=90 °四边形 MEND 是正方形 7、 （6 分）如图，现有一张边长为 4 的正方形纸片 ABCD，点 P 为 AD 边上的一点（不与点 A、点 D 重合） ，将正方形纸片折叠，使点 B 落在 P 处，点 C 落在 G 处， PG 交 DC 于 H，折痕为 EF，联结 BP、BH。（1）求证：APBBPH；（2）求证：APHC PH；（3）当 AP1 时，求 PH 的长。第一问，设EPB=EBP=m，则BPH=90 °-m，PBC=90 °-m，所以BPH=PBC，又因为4312AB CDEFMN图 3|APB=PBC，所以，APB=BPH。第二问的题外题：将此题与北京 141 之东城 22 和平谷 24 放在一起，旋转翻折共同学习；此题中用旋转把ABP 绕点 B 顺时针旋转 90°不能到达目的，于是延 BP 翻折，翻折后的剩余部分BQH 与BCH 也可全等，即可到达目的，还有意外收获：证得PBH=45°。第三问，代数方法的勾股定理。（1）证明：PEBE，EPBEBP，又EPHEBC 90°，EPHEPBEBCEBP 。即BPH PBC。又四边形 ABCD 为正方形，ADBC，APB PBC。APBBPH。 （2 分）（2）证明：过 B 作 BQPH，垂足为 Q，由（1）知，APBBPH，又ABQP90°，BPBP，ABP QBP，AP QP，BABQ。又ABBC，BC BQ。又CBQH90°，BHBH，BCH BQH ，CHQH，APHCPH。 （4 分）（3）由（2）知，APPQ 1，PD 3。设 QHHC x，则 DH x4。在 Rt PDH 中， 22PHD，即 231，解得 .，PH3.4（6 分）8、 （6 分）如图，在ABC 中，ACAB，D 点在 AC 上，ABCD，E、F 分别是 BC、AD 的中点，连结EF 并延长，与 BA 的延长线交于点 G，若EFC60°，联结 GD，判断AGD 的形状并证明。|（也可问ADG 的度数。 ）判断：AGD 是直角三角形。证明：如图联结 BD，取 BD 的中点 H，联结 HF、HE，F 是 AD 的中点， ABHF21,/，1 3。同理，HE/CD，HE CD21，2EFC。ABCD ， HF HE，12， 3EFC。EFC60°，3EFCAFG 60°，AGF 是等边三角形。 AFFGAFFD， GFFD ，FGD FDG30°，AGD90°，即AGD 是（特殊）直角三角形。|（GE=BG-BE，GH 是直角三角形的斜边，这样证全等。 ）10、阅读下列材料：小明遇到一个问题：AD 是ABC 的中线， 点 M为 BC边上任意一点（不与点 D重合） ，过点 M作一直线，使其等分ABC 的面积他的做法是：如图 1，连结 AM，过点 D作 DN/AM交 AC于点 N，作直线 MN，直线 MN即为所求直线|请你参考小明的做法，解决下列问题：（1）如图 2，在四边形 ABCD中，AE 平分 ABCD的面积，M 为 CD边上一点，过 M作一直线 MN，使其等分四边形 ABCD的面积（要求：在图 2中画出直线 MN，并保留作图痕迹） ；（2）如图 3，求作过点 A的直线 AE，使其等分四边形 ABCD的面积（要求：在图 3中画出直线 AE，并保留作图痕迹） （第二问，把ABC 的面积接到 DC的延长线上。 ）11、 已知：四边形 ABCD是正方形，点 E在 CD边上，点 F在 AD边上，且 AFDE （1）如图 1，判断 AE与 BF有怎样的位置关系？写出你的结果，并加以证明；（2）如图 2，对角线 AC与 BD交于点 O BD、AC 分别与 AE、BF 交于点 G，点 H求证：OGOH；连接 OP，若 AP4，OP 2，求 AB的长 【第二问，证AOGBHO，第二问， （在 OB上截取 BQ=AP，则APOBQO，得 OP=OQ，AP=BQ，也可得OPG=OQP，又EPB=90°，最终得OPQ 是等腰直角三角形，可得 PQ=2，从而求得 PB=6，在 RtAPB 中由勾股定理得的值。2 倍根号13.） 】12、已知：如图，梯形 ABCD 中，ADBC，B=90°，AD= ，BC= ，abDC= ，且 ，点 M 是 AB 边的中点baa（1）求证：CMDM；（2）求点 M 到 CD 边的距离 （用含 ， 的式子表示）abD图 1MBANC图 3图 2ME DCB A对对 对对 DCBAA BCD EFP图 1A BCDOPEF图 2GHAB CDM|（我认为答案的思路不是最好。本题还有这样的思路：过 M 做 BC 的平行线，交 DC 于 Q，则可证 MQ=DQ=CQ，MD 平分ADC ，MC平分BCD，及DMC=90°， ；M 到 CD 的距离也就是 RtDMC 斜边的高 MN，MN 的平方=DN 乘以NC=AD 乘以 BC=ab， ）证明：（1）延长 DM，CB 交于点 E （如图 3）梯形 ABCD 中，ADBC，ADM=BEM点 M 是 AB 边的中点，AM=BM在ADM 与BEM 中，ADM=BEM，AMD=BME，AM=BM，ADMBEM AD=BE= ，DM =EMCE=CB +BE= abaCD= ，CE= CD CMDM ab解：（2）分别作 MNDC，DFBC，垂足分别为点 N，F （如图 4）CE=CD ，DM= EM， CM 平分ECD ABC= 90°，即 MBBC， MN=MB ADBC，ABC=90 °， A=90°DFB=90°，四边形 ABFD 为矩形BF= AD= ，AB= DF FC = BCBF = abaRt DFC 中，DFC=90 °， = = 22DFC22()()b4 DF= MN=MB= AB= DF= ab1ab即点 M 到 CD 边的距离为 a13、已知：如图 1，平面直角坐标系 中，四边形 OABC 是矩形，点 A，C 的坐标分别为（6，0） ，xOy（0，2） 点 D 是线段 BC 上的一个动点（点 D 与点 B，C 不重合） ，过点 D 作直线 交折线y12xbOAB 于点 E（1）在点 D 运动的过程中，若 ODE 的面积为 S，求 S 与 的函数关系式， 并写出自变量的取值范围；b（2）如图 2，当点 E 在线段 OA 上时，矩形 OABC 关于直线 DE 对称的图形为矩形 OABC，CB分别交CB，OA 于点 D，M，OA分别交 CB，OA 于点 N， E探究四边形 DMEN 各边之间的数量关系，并对你的结论加以证明；（3）问题（2） 中的四边形 DMEN 中，ME 的长为_图 1yxO ABC图 2EDC BAO xy O'C'B' A'MNFNE CBMDA图 4EADMB C图 3|本题难度对于初二学生相当于 25 题。【好好学习第一问的解题方法，第二问由两组平行可得平行四边形，OED=O1ED（对称性质） ，得菱形。第三问，E 在 OA 上时，DE 的长度不变，为 2 倍根号 5， （延 x 轴平移DME 使 D 与 C 重合，设DM=EM=x，代数法用勾股定理可求得 ME 的值。 】解：（1）矩形 OABC 中，点 A，C 的坐标分别为 ， ， 点 B 的坐标为 (6,0),2(6,2)若直线 经过点 C ，则 ；bxy2(0,2)b若直线 经过点 A ，则 ；163若直线 经过点 B ，则 xy(,)5当点 E 在线段 OA 上时，即 时， （如图 6） 2b点 E 在直线 上，xy1当 时， ，0ybx点 E 的坐标 为 )0,2(Sb2当点 E 在线段 BA 上时，即 时， （如图 7） 53点 D，E 在直线 上，xy1当 时， ；2y4bx当 时， ，63点 D 的坐标为 ，点 E 的坐标为 )2,()3,6(b DBOACDOABSSS矩 形 )(2)4(21)3()4(216b b52综上可得： 2,5).S (（2）DM =ME=EN=ND证明：如图 8四边形 OABC 和四边形 OABC是矩形，CBOA， CBOA，即 DNME，DMNE 四边形 DMEN 是平行四边形，且 NDE=DEM矩形 OABC 关于直线 DE 对称的图形为矩形 OABC，DEM=DENNDE=DENND=NE四边形 DMEN 是菱形图 6yxO ABCDEEDC BAO xy图 7图 8EDC BAO xyO'C'B' A'MN