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    2012年考研数学二试题-及答案~.doc

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    2012年考研数学二试题-及答案~.doc

    |2012 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题:1 8 小题,每小题 4 分,共 32 分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合:题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.(1) 曲线 渐近线的条数 ( )21xy(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3【答案】C【考点】函数图形的渐近线【难易度】【详解】本题涉及到的主要知识点:(i)当曲线上一点 M 沿曲线无限远离原点时,如果 M 到一条直线的距离无限趋近于零,那么这条直线称为这条曲线的渐近线。(ii)渐近线分为水平渐近线( , 为常数) 、垂直渐近线( )和斜lim()xfb0lim()xf渐近线( , 为常数) 。lim()0xfab,a(iii)注意:如果(1) 不存在;lixf(2) ,但 不存在,可断定 不存在斜渐近线。()ali()xfax()fx在本题中,函数 的间断点只有 .21y1由于 ,故 是垂直渐近线.1limx(而 ,故 不是渐近线).11()lili2xxy1x又 ,故 是水平渐近线.(无斜渐近线)2lilixxy综上可知,渐近线的条数是 2.故选 C.(2) 设函数 ,其中 为正整数,则 ( )2()1)()xxnxfee (0)f|(A) (B) (C) (D) 1()!n(1)!n1()!n(1)!n【答案】A【考点】导数的概念【难易度】【详解一】本题涉及到的主要知识点:.000()()limlixxffxyf:在本题中,按定义 200()(1)()()lilixxnxxfeef .故选 A.112()()!n【详解二】本题涉及到的主要知识点:.()()()()fxuvxvux在本题中,用乘积求导公式.含因子 项在 为 0,故只留下一项.于是1e20(0)()xnxfe 1()2()()!n故选(A).(3) 设 , ,则数列 有界是数列 收敛的( )(1,)na 123nnSaa nSna(A)充分必要条件 (B)充分非必要条件(C)必要非充分条件 (D)既非充分也非必要条件【答案】B【考点】数列极限【难易度】【详解】因 ,所以 单调上升.0(1,2)na 123nnSaa若数列 有界,则 存在,于是Slimn11lili()li0nn n反之,若数列 收敛,则数列 不一定有界.例如,取 ,则 是无aS1na(,2) nS界的.|因此,数列 有界是数列 收敛的充分非必要条件.故选(B).nSna(4)设 则有 ( )20si(1,23kxKedkI(A) (B) (C) (D)123I321II231II213I【答案】D【考点】定积分的基本性质【难易度】【详解】本题涉及到的主要知识点:设 ,则 .acb()()()bcbaacfxdfxfdx在本题中, ,210sinxIe220sinxIe230sinxIe,22 21dI,233 3sixIe22231nsinsinxxeded2 233()si)tetd 22() 31i0xI因此 .故选 D.213I(5)设函数 可微,且对任意的 都有 , ,则使不等式(,)fxy,xy(,)0fxy(,)0fxy成立的一个充分条件是( )12(,),fxyf(A) , (B) , 1y12x12y(C) , (D) , 12x2 【答案】D【考点】多元函数的偏导数;函数单调性的判别【难易度】【详解】本题涉及到的主要知识点:函数单调性的判定法 设函数 在 上连续,在 内可导.()yfx,ab(,)ab|如果在 内 ,那么函数 在 上单调增加;(,)ab(0fx()yfx,ab如果在 内 ,那么函数 在 上单调减少.在本题中,因 ,当 固定时对 单调上升,故当 时(,)0fxyx12x121(,)(,)fxyf又因 ,当 固定时对 单调下降,故当 时(,)fyy12y12,ff因此,当 , 时12x121212(,)(,)(,)fxffx故选 D.(6)设区域 由曲线 , , 围成,则 ( )Dsinyx2y5(1)Dxyd(A) (B)2 (C)-2 (D) 【答案】D【考点】二重积分的计算【难易度】【详解】本题涉及到的主要知识点: 10,(,)(,)2(),DDfxyfxydfxyd对 或 为 奇 函 数 ,对 或 为 偶 函 数在本题中,115 55222sin sin()()()x xDydyd52221(sin)(i)xdx其中 , 均为奇函数,所以52(i)i,5221sin0xdx2sin0xd故选(D)|(7)设 , , , ,其中 为任意常数,则下列向量10c2131c41c1234,c组线性相关的为( )(A) (B) (C) (D)123,124,134,234,【答案】C【考点】向量组的线性相关与线性无关【难易度】【详解】本题涉及到的主要知识点:个 维向量相关n12,0n在本题中,显然,1341230,c所以 必线性相关.故选 C.134,(8) 设 A 为 3 阶矩阵,P 为 3 阶可逆矩阵,且 .若 P=( ) ,102pAP123,,则 ( )123(,)1QA(A) (B) (C) (D) 0102201201【答案】B【考点】矩阵的初等变换;初等矩阵【难易度】【详解】本题涉及到的主要知识点:设 是一个 矩阵,对 施行一次初等行变换,相当于在 的左边乘以相应的 阶初等矩AmnAAm阵;对 施行一次初等列变换,相当于在 的右边乘以相应的 阶初等矩阵.n在本题中,由于 经列变换为 ,有PQ|,1210()QPE那么 11122212()()()()AAPPAE0011故选 B.二、填空题:9 14 小题,每小题 4 分,共 24 分.请将答案写在答题纸指定位置上.:(9)设 是由方程 所确定的隐函数,则 .yx21ye20xdy【答案】1【考点】隐函数的微分【难易度】【详解】本题涉及到的主要知识点:隐函数求导的常用方法有:1. 利用复合函数求导法,将每个方程两边对指定的自变量求偏导数(或导数) ,此时一定要注意谁是自变量,谁是因变量,对中间变量的求导不要漏项。然后求解相应的线性方程式或方程组,求得所要的隐函数的偏导数或导数。2. 利用一阶全微分形式的不变性,对每个方程两边求全微分,此时各变量的地位是平等的,然后求解相应的线性方程组或者方程式,球的相应的隐函数的全微分。对于多元隐函数来说,若题目中求的是全部偏导数或全微分,往往是用方法 2 比较简单些,若只求某个偏导数,则方法 1 和方法 2 的繁简程度差不多。在本题中,令 ,得 .等式两边同时对 求导,得0x()yx(*)2yxe令 , 得 ,()0y于是 .再将(*)是对 求导得(0)yx2ye|令 , , 得 0xy02()0y于是 ()1(10) .2221limnnn【答案】 4【考点】定积分的概念【难易度】【详解】本题涉及到的主要知识点:利用定积分定义求某些和式的极限(先将和式表成某函数在某区间上的一个积分和,它的极限就是一个定积分).特别是对于 项和数列的极限,应该注意到:n 101lim()()niffxd在本题中,由积分定义, 22222211 1limli1()()()n n nnn 11020arct4dx(11)设 ,其中函数 可微,则 (ln)zfy()fu2zxy【答案】0【考点】多元复合函数的求导法【难易度】【详解】本题涉及到的主要知识点:二元函数 (是一元函数 与二元函数 的复合函数) ,在变量替换(,)zfuxy()fu(,)uxy|下,得到 对 , 的偏导数为 , .(,)uxyzxy()zufx()zufy在本题中,根据题中条件可知, , ,所以1zfu21f20zxy(12)微分方程 满足条件 的解为 2(3)0ydxdy1xyy【答案】 (或 )2【考点】一阶线性微分方程【难易度】【详解】本题涉及到的主要知识点:方程 叫做一阶线性微分方程,其通解为 .()dyPxQ ()()PxdPxdyeQeC在本题中,方程可整理为 ,将 看作因变量,一阶线性非齐次微分方程的通解为13dxyx.又 ,得 ,故 (或 )为1133dydyxeC(1)0C2xyx所求解.(13)曲线 上曲率为 的点的坐标为 .20yx2【答案】 (-1,0)【考点】曲率【难易度】【详解】本题涉及到的主要知识点: 曲率公式 .321yK在本题中, ,代入曲率公式 ,得 ,,x 321yK321()x|解得 或 .又 ,故 .故坐标为 .1x0x10y(1,0)(14)设 为 3 阶矩阵, , 为 的伴随矩阵,若交换 的第一行与第二行得到矩阵A3*AA,则 _B*【答案】-27.【考点】矩阵的初等变换;伴随矩阵【难易度】【详解】本题涉及到的主要知识点:设 是一个 矩阵,对 施行一次初等行变换,相当于在 的左边乘以相应的 阶初等矩AmnAAm阵;对 施行一次初等列变换,相当于在 的右边乘以相应的 阶初等矩阵.n在本题中,设 120E则 ,从而 .12BA3*1227BA三、解答题:1523 小题,共 94 分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)已知函数 记1sinxf0limxaf()求 的值;a()当 时, 与 是同阶无穷小,求常数 的值.0xfxk k【考点】无穷小量的比较【难易度】【详解】本题涉及到的主要知识点:当 时, , .0x31sin()6xoxsinx:31sin6x:() 2220000iilimlilmlimsxxx xaf() 1|方法一:利用泰勒公式 332 321 200 01 6sinilimli lm0kk kxx xxxof x 解得 . 方法二:利用等价无穷小量代换 2 1sinsini1xxxf x当 时, ,所以 . 0x3216f:k(16)求函数 的极值.(,)xyfe【考点】函数的极值【难易度】【详解】本题涉及到的主要知识点:二元函数取得极值的充分条件:设 在点 的某邻域有连续的二阶偏导数,又(,)zfxy0(,), ,令 ,0(,)xfy0(,)yfx0A, ,则BC(1)当 时, 在 取极值,且当 时取极小值, 时取极大2AC(,)fy0,)x0A值;(2)当 时, 不是 的极值点;00,(,fy(3)当 时,仅此不足以判断 是否是 的极值点,还需另作讨论.20)x(,)fxy在本题中,先求函数的驻点. 令 2222 2, 1, 0xyxyxyxyfeefy解得驻点为 ,(1,)(,又

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