2019年中考数学真题试题（含解析） 新 人教版.doc

120192019 年中考数学真题试题年中考数学真题试题一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 4 分，共 48 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 （4 分）计算的结果是（ ）A0B1C1D2 （4 分）下列语句描述的事件中，是随机事件的为（ ）A水能载舟，亦能覆舟B只手遮天，偷天换日C瓜熟蒂落，水到渠成D心想事成，万事如意3 （4 分）下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）ABCD4 （4 分）若单项式 am1b2与的和仍是单项式，则 nm的值是（ ）A3B6C8D95 （4 分）与最接近的整数是（ ）A5B6C7D86 （4 分）一辆小车沿着如图所示的斜坡向上行驶了 100 米，其铅直高度上升了 15 米在用科学计算器求坡角 的度数时，具体按键顺序是（ ）ABCD7 （4 分）化简的结果为（ ）ABa1 CaD18 （4 分）甲、乙、丙、丁 4 人进行乒乓球单循环比赛（每两个人都要比赛一场） ，结果甲胜了丁，并且甲、乙、丙胜的场数相同，则丁胜的场数是（ ）A3B2C1D029 （4 分）如图，O 的直径 AB=6，若BAC=50°，则劣弧 AC 的长为（ ）A2BCD10 （4 分） “绿水青山就是金山银山” 某工程队承接了 60 万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了 25%，结果提前 30 天完成了这一任务设实际工作时每天绿化的面积为 x 万平方米，则下面所列方程中正确的是（ ）ABCD11 （4 分）如图，在 RtABC 中，CM 平分ACB 交 AB 于点 M，过点 M 作 MNBC 交 AC 于点N，且 MN 平分AMC，若 AN=1，则 BC 的长为（ ）A4B6CD812 （4 分）如图，P 为等边三角形 ABC 内的一点，且 P 到三个顶点 A，B，C 的距离分别为3，4，5，则ABC 的面积为（ ）ABCD二、填空题（每题 4 分，共 5 个小题，满分 20 分，将直接填写最后结果）13 （4 分）如图，直线 ab，若1=140°，则2= 度314 （4 分）分解因式：2x36x2+4x= 15 （4 分）在如图所示的平行四边形 ABCD 中，AB=2，AD=3，将ACD 沿对角线 AC 折叠，点 D 落在ABC 所在平面内的点 E 处，且 AE 过 BC 的中点 O，则ADE 的周长等于 16 （4 分）已知抛物线 y=x2+2x3 与 x 轴交于 A，B 两点（点 A 在点 B 的左侧） ，将这条抛物线向右平移 m（m0）个单位，平移后的抛物线于 x 轴交于 C，D 两点（点 C 在点 D 的左侧） ，若 B，C 是线段 AD 的三等分点，则 m 的值为 17 （4 分）将从 1 开始的自然数按以下规律排列，例如位于第 3 行、第 4 列的数是 12，则位于第 45 行、第 8 列的数是 三、解答题（本大题共 7 小题，共 52 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）18 （5 分）先化简，再求值：a（a+2b）（a+1）2+2a，其中19 （5 分）已知：如图，ABC 是任意一个三角形，求证：A+B+C=180°20 （8 分） “推进全科阅读，培育时代新人” 某学校为了更好地开展学生读书活动，随机4调查了八年级 50 名学生最近一周的读书时间，统计数据如下表：时间（小时）678910人数58121510（1）写出这 50 名学生读书时间的众数、中位数、平均数；（2）根据上述表格补全下面的条形统计图（3）学校欲从这 50 名学生中，随机抽取 1 名学生参加上级部门组织的读书活动，其中被抽到学生的读书时间不少于 9 小时的概率是多少？21 （8 分）如图，直线 y1=x+4，y2=x+b 都与双曲线 y=交于点 A（1，m） ，这两条直线分别与 x 轴交于 B，C 两点（1）求 y 与 x 之间的函数关系式；（2）直接写出当 x0 时，不等式x+b的解集；（3）若点 P 在 x 轴上，连接 AP 把ABC 的面积分成 1：3 两部分，求此时点 P 的坐标22 （8 分）如图，以 AB 为直径的O 外接于ABC，过 A 点的切线 AP 与 BC 的延长线交于点 P，APB 的平分线分别交 AB，AC 于点 D，E，其中 AE，BD（AEBD）的长是一元二次方程 x25x+6=0 的两个实数根（1）求证：PABD=PBAE；（2）在线段 BC 上是否存在一点 M，使得四边形 ADME 是菱形？若存在，请给予证明，并求5其面积；若不存在，说明理由23 （9 分） （1）操作发现：如图，小明画了一个等腰三角形 ABC，其中 AB=AC，在ABC的外侧分别以 AB，AC 为腰作了两个等腰直角三角形 ABD，ACE，分别取 BD，CE，BC 的中点M，N，G，连接 GM，GN小明发现了：线段 GM 与 GN 的数量关系是 ；位置关系是 （2）类比思考：如图，小明在此基础上进行了深入思考把等腰三角形 ABC 换为一般的锐角三角形，其中 ABAC，其它条件不变，小明发现的上述结论还成立吗？请说明理由（3）深入研究：如图，小明在（2）的基础上，又作了进一步的探究向ABC 的内侧分别作等腰直角三角形 ABD，ACE，其它条件不变，试判断GMN 的形状，并给与证明24 （9 分）如图，抛物线 y=ax2+bx 经过OAB 的三个顶点，其中点 A（1，） ，点B（3，） ，O 为坐标原点（1）求这条抛物线所对应的函数表达式；（2）若 P（4，m） ，Q（t，n）为该抛物线上的两点，且 nm，求 t 的取值范围；（3）若 C 为线段 AB 上的一个动点，当点 A，点 B 到直线 OC 的距离之和最大时，求BOC的大小及点 C 的坐标67参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 4 分，共 48 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 （4 分）计算的结果是（ ）A0B1C1D【考点】1A：有理数的减法；15：绝对值【分析】先计算绝对值，再计算减法即可得【解答】解：=0，故选：A【点评】本题主要考查绝对值和有理数的减法，解题的关键是掌握绝对值的性质和有理数的减法法则2 （4 分）下列语句描述的事件中，是随机事件的为（ ）A水能载舟，亦能覆舟B只手遮天，偷天换日C瓜熟蒂落，水到渠成D心想事成，万事如意【考点】X1：随机事件【分析】直接利用随机事件以及必然事件、不可能事件的定义分别分析得出答案【解答】解：A、水能载舟，亦能覆舟，是必然事件，故此选项错误；B、只手遮天，偷天换日，是不可能事件，故此选项错误；C、瓜熟蒂落，水到渠成，是必然事件，故此选项错误；D、心想事成，万事如意，是随机事件，故此选项正确故选：D【点评】此题主要考查了随机事件，正确把握相关定义是解题关键3 （4 分）下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）ABCD8【考点】P3：轴对称图形【分析】观察四个选项图形，根据轴对称图形的概念即可得出结论【解答】解：根据轴对称图形的概念，可知：选项 C 中的图形不是轴对称图形故选：C【点评】本题考查了轴对称图形，牢记轴对称图形的概念是解题的关键4 （4 分）若单项式 am1b2与的和仍是单项式，则 nm的值是（ ）A3B6C8D9【考点】35：合并同类项；42：单项式【分析】首先可判断单项式 am1b2与是同类项，再由同类项的定义可得 m、n 的值，代入求解即可【解答】解：单项式 am1b2与的和仍是单项式，单项式 am1b2与是同类项，m1=2，n=2，m=3，n=2，nm=8故选：C【点评】本题考查了合并同类项的知识，解答本题的关键是掌握同类项中的两个相同5 （4 分）与最接近的整数是（ ）A5B6C7D8【考点】2B：估算无理数的大小；27：实数【分析】由题意可知 36 与 37 最接近，即与最接近，从而得出答案【解答】解：363749，即 67，37 与 36 最接近，与最接近的是 6故选：B9【点评】此题主要考查了无理数的估算能力，关键是整数与最接近，所以=6 最接近6 （4 分）一辆小车沿着如图所示的斜坡向上行驶了 100 米，其铅直高度上升了 15 米在用科学计算器求坡角 的度数时，具体按键顺序是（ ）ABCD【考点】T9：解直角三角形的应用坡度坡角问题；T6：计算器三角函数【分析】先利用正弦的定义得到 sinA=0.15，然后利用计算器求锐角 【解答】解：sinA=0.15，所以用科学计算器求这条斜道倾斜角的度数时，按键顺序为故选：A【点评】本题考查了计算器三角函数：正确使用计算器，一般情况下，三角函数值直接可以求出，已知三角函数值求角需要用第二功能键7 （4 分）化简的结果为（ ）ABa1 CaD1【考点】6B：分式的加减法【分析】根据分式的运算法则即可求出答案【解答】解：原式=+10=a1故选：B【点评】本题考查分式的运算法则，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型8 （4 分）甲、乙、丙、丁 4 人进行乒乓球单循环比赛（每两个人都要比赛一场） ，结果甲胜了丁，并且甲、乙、丙胜的场数相同，则丁胜的场数是（ ）A3B2C1D0【考点】O2：推理与论证【分析】四个人共有 6 场比赛，由于甲、乙、丙三人胜的场数相同，所以只有两种可能性：甲胜 1 场或甲胜 2 场；由此进行分析即可【解答】解：四个人共有 6 场比赛，由于甲、乙、丙三人胜的场数相同，所以只有两种可能性：甲胜 1 场或甲胜 2 场；若甲只胜一场，这时乙、丙各胜一场，说明丁胜三场，这与甲胜丁矛盾，所以甲只能是胜两场，即：甲、乙、丙各胜 2 场，此时丁三场全败，也就是胜 0 场答：甲、乙、丙各胜 2 场，此时丁三场全败，丁胜 0 场故选：D【点评】此题是推理论证题目，解答此题的关键是先根据题意，通过分析，进而得出两种可能性，继而分析即可9 （4 分）如图，O 的直径 AB=6，若BAC=50°，则劣弧 AC 的长为（ ）A2BCD【考点】MN：弧长的计算；M5：圆周角定理【分析】先连接 CO，依据BAC=50°，AO=CO=3，即可得到AOC=80°，进而得出劣弧 AC的长为=【解答】解：如图，连接 CO，11BAC=50°，AO=CO=3，ACO=50°，AOC=80°，劣弧 AC 的长为=，故选：D【点评】本题考查了圆周角定理，弧长的计算，熟记弧长的公式是解题的关键10 （4 分） “绿水青山就是金山银山” 某工程队承接了 60 万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了 25%，结果提前 30 天完成了这一任务设实际工作时每天绿化的面积为 x 万平方米，则下面所列方程中正确的是（ ）ABCD【考点】B6：由实际问题抽象出分式方程【分析】设实际工作时每天绿化的面积为 x 万平方米，根据工作时间=工作总量÷工作效率结合提前 30 天完成任务，即可得出关于 x 的分式方程【解答】解：设实际工作时每天绿化的面积为 x 万平方米，则原来每天绿化的面积为万平方米，依题意得：=30，即故选：C【点评】考查了由实际问题抽象出分式方程找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键1211 （4 分）如图，在 RtABC 中，CM 平分ACB 交 AB 于点 M，过点 M 作 MNBC 交 AC 于点N，且 MN 平分AMC，若 AN=1，则 BC 的长为（ ）A4B6CD8【考点】KO：含 30 度角的直角三角形；JA：平行线的性质；KJ：等腰三角形的判定与性质【分析】根据题意，可以求得B 的度数，然后根据解直角三角形的知识可以求得 NC 的长，从而可以求得 BC 的长【解答】解：在 RtABC 中，CM 平分ACB 交 AB 于点 M，过点 M 作 MNBC 交 AC 于点N，且 MN 平分AMC，AMB=NMC=B，NCM=BCM=NMC，ACB=2B，NM=NC，B=30°，AN=1，MN=2，AC=AN+NC=3，BC=6，故选：B【点评】本题考查 30°角的直角三角形、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答12 （4 分）如图，P 为等边三角形 ABC 内的一点，且 P 到三个顶点 A，B，C 的距离分别为3，4，5，则ABC 的面积为（ ）ABCD【考点】R2：旋转的性质；KK：等边三角形的性质；KS：勾股定理的逆定理【分析】将BPC 绕点 B 逆时针旋转 60°得BEA，根据旋转的性质得BE=BP=4，AE=PC=5，PBE=60°，则BPE 为等边三角形，得到 PE=PB=4，BPE=60°，在AEP 中，AE=5，延长 BP，作 AFBP 于点 FAP=3，PE=4，根据勾股定理的逆定理可得到13APE 为直角三角形，且APE=90°，即可得到APB 的度数，在直角APF 中利用三角函数求得 AF 和 PF 的长，则在直角ABF 中利用勾股定理求得 AB 的长，进而求得三角形 ABC 的面积【解答】解：ABC 为等边三角形，BA=BC，可将BPC 绕点 B 逆时针旋转 60°得BEA，连 EP，且延长 BP，作 AFBP 于点 F如图，BE=BP=4，AE=PC=5，PBE=60°，BPE 为等边三角形，PE=PB=4，BPE=60°，在AEP 中，AE=5，AP=3，PE=4，AE2=PE2+PA2，APE 为直角三角形，且APE=90°，APB=90°+60°=150°APF=30°，在直角APF 中，AF=AP=，PF=AP=在直角ABF 中，AB2=BF2+AF2=（4+）2+（）2=25+12则ABC 的面积是AB2=（25+12）=故选：A【点评】本题考查了等边三角形的判定与性质、勾股定理的逆定理以及旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等二、填空题（每题 4 分，共 5 个小题，满分 20 分，将直接填写最后结果）13 （4 分）如图，直线 ab，若1=140°，则2= 40 度14【考点】JA：平行线的性质【分析】由两直线平行同旁内角互补得出1+2=180°，根据1 的度数可得答案【解答】解：ab，1+2=180°，1=140°，2=180°1=40°，故答案为：40【点评】本题主要考查平行线的性质，解题的关键是掌握两直线平行同旁内角互补14 （4 分）分解因式：2x36x2+4x= 2x（x1） （x2） 【考点】57：因式分解十字相乘法等；53：因式分解提公因式法【分析】首先提取公因式 2x，再利用十字相乘法分解因式得出答案【解答】解：2x36x2+4x=2x（x23x+2）=2x（x1） （x2） 故答案为：2x（x1） （x2） 【点评】此题主要考查了提取公因式法以及十字相乘法分解因式，正确分解常数项是解题关键15 （4 分）在如图所示的平行四边形 ABCD 中，AB=2，AD=3，将ACD 沿对角线 AC 折叠，点 D 落在ABC 所在平面内的点 E 处，且 AE 过 BC 的中点 O，则ADE 的周长等于 10 【考点】PB：翻折变换（折叠问题） ；L5：平行四边形的性质【分析】要计算周长首先需要证明 E、C、D 共线，DE 可求，问题得解【解答】解：四边形 ABCD 是平行四边形ADBC，CD=AB=215由折叠，DAC=EACDAC=ACBACB=EACOA=OCAE 过 BC 的中点 OAO=BCBAC=90°ACE=90°由折叠，ACD=90°E、C、D 共线，则 DE=4ADE 的周长为：3+3+2+2=10故答案为：10【点评】本题考查了平行四边形的性质、轴对称图形性质和三点共线的证明解题时注意不能忽略 E、C、D 三点共线16 （4 分）已知抛物线 y=x2+2x3 与 x 轴交于 A，B 两点（点 A 在点 B 的左侧） ，将这条抛物线向右平移 m（m0）个单位，平移后的抛物线于 x 轴交于 C，D 两点（点 C 在点 D 的左侧） ，若 B，C 是线段 AD 的三等分点，则 m 的值为 2 【考点】HA：抛物线与 x 轴的交点；H6：二次函数图象与几何变换【分析】先根据三等分点的定义得：AC=BC=BD，由平移 m 个单位可知：AC=BD=m，计算点 A和 B 的坐标可得 AB 的长，从而得结论【解答】解：如图，B，C 是线段 AD 的三等分点，AC=BC=BD，由题意得：AC=BD=m，当 y=0 时，x2+2x3=0，（x1） （x+3）=0，x1=1，x2=3，A（3，0） ，B（1，0） ，AB=3+1=4，16AC=BC=2，m=2，故答案为：2【点评】本题考查了抛物线与 x 轴的交点问题、抛物线的平移及解一元二次方程的问题，利用数形结合的思想和三等分点的定义解决问题是关键17 （4 分）将从 1 开始的自然数按以下规律排列，例如位于第 3 行、第 4 列的数是 12，则位于第 45 行、第 8 列的数是 2018 【考点】37：规律型：数字的变化类【分析】观察图表可知：第 n 行第一个数是 n2，可得第 45 行第一个数是 2025，推出第 45行、第 8 列的数是 20257=2018；【解答】解：观察图表可知：第 n 行第一个数是 n2，第 45 行第一个数是 2025，第 45 行、第 8 列的数是 20257=2018，故答案为 2018【点评】本题考查规律型数字问题，解题的关键是学会观察，探究规律，利用规律解决问题17三、解答题（本大题共 7 小题，共 52 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）18 （5 分）先化简，再求值：a（a+2b）（a+1）2+2a，其中【考点】4J：整式的混合运算化简求值；76：分母有理化【分析】先算平方与乘法，再合并同类项，最后代入计算即可【解答】解：原式=a2+2ab（a2+2a+1）+2a=a2+2aba22a1+2a=2ab1，当时，原式=2（+1） （）1=21=1【点评】本题考查了整式的混合运算化简求值，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键19 （5 分）已知：如图，ABC 是任意一个三角形，求证：A+B+C=180°【考点】K7：三角形内角和定理【分析】过点 A 作 EFBC，利用 EFBC，可得1=B，2=C，而1+2+BAC=180°，利用等量代换可证BAC+B+C=180°【解答】证明：过点 A 作 EFBC，EFBC，1=B，2=C，1+2+BAC=180°，BAC+B+C=180°，即A+B+C=180°18【点评】本题考查了三角形的内角和定理的证明，作辅助线把三角形的三个内角转化到一个平角上是解题的关键20 （8 分） “推进全科阅读，培育时代新人” 某学校为了更好地开展学生读书活动，随机调查了八年级 50 名学生最近一周的读书时间，统计数据如下表：时间（小时）678910人数58121510（1）写出这 50 名学生读书时间的众数、中位数、平均数；（2）根据上述表格补全下面的条形统计图（3）学校欲从这 50 名学生中，随机抽取 1 名学生参加上级部门组织的读书活动，其中被抽到学生的读书时间不少于 9 小时的概率是多少？【考点】X4：概率公式；VC：条形统计图；W2：加权平均数；W4：中位数；W5：众数【分析】 （1）先根据表格提示的数据得出 50 名学生读书的时间，然后除以 50 即可求出平均数；在这组样本数据中，9 出现的次数最多，所以求出了众数；将这组样本数据按从小到大的顺序排列，其中处于中间的两个数是 8 和 9，从而求出中位数是 8.5；（2）根据题意直接补全图形即可（3）从表格中得知在 50 名学生中，读书时间不少于 9 小时的有 25 人再除以 50 即可得出结论【解答】解：（1）观察表格，可知这组样本数据的平均数为：（6×5+7×8+8×12+9×15+10×10）÷50=8.34，故这组样本数据的平均数为 2；这组样本数据中，9 出现了 15 次，出现的次数最多，这组数据的众数是 9；将这组样本数据按从小到大的顺序排列，其中处于中间的两个数是 8 和 9，19这组数据的中位数为（8+9）=8.5；（2）补全图形如图所示，（3）读书时间是 9 小时的有 15 人，读书时间是 10 小时的有 10，读书时间不少于 9 小时的有 15+10=25 人，被抽到学生的读书时间不少于 9 小时的概率是=【点评】本题考查了加权平均数、众数以及中位数，用样本估计总体的知识，解题的关键是牢记概念及公式21 （8 分）如图，直线 y1=x+4，y2=x+b 都与双曲线 y=交于点 A（1，m） ，这两条直线分别与 x 轴交于 B，C 两点（1）求 y 与 x 之间的函数关系式；（2）直接写出当 x0 时，不等式x+b的解集；（3）若点 P 在 x 轴上，连接 AP 把ABC 的面积分成 1：3 两部分，求此时点 P 的坐标【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题【分析】 （1）求得 A（1，3） ，把 A（1，3）代入双曲线 y=，可得 y 与 x 之间的函数关系式；（2）依据 A（1，3） ，可得当 x0 时，不等式x+b的解集为 x1；20（3）分两种情况进行讨论，AP 把ABC 的面积分成 1：3 两部分，则 CP=BC=，或 BP=BC=，即可得到 OP=3=，或 OP=4=，进而得出点 P 的坐标【解答】解：（1）把 A（1，m）代入 y1=x+4，可得 m=1+4=3，A（1，3） ，把 A（1，3）代入双曲线 y=，可得 m=1×3=3，y 与 x 之间的函数关系式为：y=；（2）A（1，3） ，当 x0 时，不等式x+b的解集为：x1；（3）y1=x+4，令 y=0，则 x=4，点 B 的坐标为（4，0） ，把 A（1，3）代入 y2=x+b，可得 3=+b，b=，y2=x+，令 y=0，则 x=3，即 C（3，0） ，BC=7，AP 把ABC 的面积分成 1：3 两部分，CP=BC=，或 BP=BC=，OP=3=，或 OP=4=，P（，0）或（，0） 【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，21则两者无交点22 （8 分）如图，以 AB 为直径的O 外接于ABC，过 A 点的切线 AP 与 BC 的延长线交于点 P，APB 的平分线分别交 AB，AC 于点 D，E，其中 AE，BD（AEBD）的长是一元二次方程 x25x+6=0 的两个实数根（1）求证：PABD=PBAE；（2）在线段 BC 上是否存在一点 M，使得四边形 ADME 是菱形？若存在，请给予证明，并求其面积；若不存在，说明理由【考点】MR：圆的综合题【分析】 （1）易证APE=BPD，EAP=B，从而可知PAEPBD，利用相似三角形的性质即可求出答案（2）过点 D 作 DFPB 于点 F，作 DGAC 于点 G，易求得 AE=2，BD=3，由（1）可知：，从而可知 cosBDF=cosBAC=cosAPC=，从而可求出 AD 和 DG 的长度，进而证明四边形 ADFE 是菱形，此时 F 点即为 M 点，利用平行四边形的面积即可求出菱形 ADFE的面积【解答】解：（1）DP 平分APB，APE=BPD，AP 与O 相切，BAP=BAC+EAP=90°，AB 是O 的直径，ACB=BAC+B=90°，EAP=B，PAEPBD，22PABD=PBAE；（2）过点 D 作 DFPB 于点 F，作 DGAC 于点 G，DP 平分APB，ADAP，DFPB，AD=DF，EAP=B，APC=BAC，易证：DFAC，BDF=BAC，由于 AE，BD（AEBD）的长是 x25x+6=0，解得：AE=2，BD=3，由（1）可知：，cosAPC=，cosBDF=cosAPC=，DF=2，DF=AE，四边形 ADFE 是平行四边形，AD=AE，四边形 ADFE 是菱形，此时点 F 即为 M 点，cosBAC=cosAPC=，sinBAC=，DG=，在线段 BC 上是否存在一点 M，使得四边形 ADME 是菱形23其面积为：DGAE=2×=【点评】本题考查圆的综合问题，涉及圆周角定理，锐角三角函数的定义，平行四边形的判定及其面积公式，相似三角形的判定与性质，综合程度较高，考查学生的灵活运用知识的能力23 （9 分） （1）操作发现：如图，小明画了一个等腰三角形 ABC，其中 AB=AC，在ABC的外侧分别以 AB，AC 为腰作了两个等腰直角三角形 ABD，ACE，分别取 BD，CE，BC 的中点M，N，G，连接 GM，GN小明发现了：线段 GM 与 GN 的数量关系是 MG=NG ；位置关系是 MGNG （2）类比思考：如图，小明在此基础上进行了深入思考把等腰三角形 ABC 换为一般的锐角三角形，其中 ABAC，其它条件不变，小明发现的上述结论还成立吗？请说明理由（3）深入研究：如图，小明在（2）的基础上，又作了进一步的探究向ABC 的内侧分别作等腰直角三角形 ABD，ACE，其它条件不变，试判断GMN 的形状，并给与证明【考点】KY：三角形综合题【分析】 （1）利用 SAS 判断出ACDAEB，得出 CD=BE，ADC=ABE，进而判断出BDC+DBH=90°，即：BHD=90°，最后用三角形中位线定理即可得出结论；（2）同（1）的方法即可得出结论；（3）同（1）的方法得出 MG=NG，最后利用三角形中位线定理和等量代换即可得出结论24【解答】解：（1）连接 BE，CD 相较于 H，ABD 和ACE 都是等腰直角三角形，AB=AD，AC=AE，BAD=CAE=90°CAD=BAE，ACDAEB（SAS） ，CD=BE，ADC=ABE，BDC+DBH=BDC+ABD+ABE=BDC+ABD+ADC=ADB+ABD=90°，BHD=90°，CDBE，点 M，G 分别是 BD，BC 的中点，MGCD，同理：NGBE，MG=NG，MGNG，故答案为：MG=NG，MGNG；（2）连接 CD，BE，相较于 H，同（1）的方法得，MG=NG，MGNG；（3）连接 EB，DC，延长线相交于 H，同（1）的方法得，MG=NG，同（1）的方法得，ABEADC，AEB=ACD，CEH+ECH=AEHAEC+180°ACDACE=ACD45°+180°ACD45°=90°，25DHE=90°，同（1）的方法得，MGNG【点评】此题是三角形综合题，主要考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，三角形的中位线定理，正确作出辅助线用类比的思想解决问题是解本题的关键24 （9 分）如图，抛物线 y=ax2+bx 经过OAB 的三个顶点，其中点 A（1，） ，点B（3，） ，O 为坐标原点（1）求这条抛物线所对应的函数表达式；（2）若 P（4，m） ，Q（t，n）为该抛物线上的两点，且 nm，求 t 的取值范围；（3）若 C 为线段 AB 上的一个动点，当点 A，点 B 到直线 OC 的距离之和最大时，求BOC的大小及点 C 的坐标【考点】HF：二次函数综合题【分析】 （1）将已知点坐标代入即可；（2）利用抛物线增减性可解问题；（3）观察图形，点 A，点 B 到直线 OC 的距离之和小于等于 AB；同时用点 A（1，） ，点B（3，）求出相关角度【解答】解：（1）把点 A（1，） ，点 B（3，）分别代入 y=ax2+bx 得解得26y=（2）由（1）抛物线开口向下，对称轴为直线 x=当 x时，y 随 x 的增大而减小当 t4 时，nm（3）如图，设抛物线交 x 轴于点 F分别过点 A、B 作 ADOC 于点 D，BEOC 于点 EACAD，BCBEAD+BEAC+BE=AB当 OCAB 时，点 A，点 B 到直线 OC 的距离之和最大A（1，） ，点 B（3，）AOF=60°，BOF=30°AOB=90°ABO=30°当 OCAB 时，BOC=60°点 C 坐标为（，） 【点评】本题考查综合考查用待定系数法求二次函数解析式，抛物线的增减性解答问题时注意线段最值问题的转化方法