2019年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题&参考答案 (2).docx

第 1 页 共 14 页2019 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题&参考答案本试卷共 5 页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。注意事项：1答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2选择题必须使用 2B 铅笔填涂；非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1设集合A=x|x25x+6>0，B=x|x1b，则Aln(ab)>0 B3a0 Da>b7设，为两个平面，则的充要条件是A内有无数条直线与平行 B内有两条相交直线与平行 第 3 页 共 14 页C，平行于同一条直线 D，垂直于同一平面8若抛物线y2=2px(p>0)的焦点是椭圆的一个焦点，则p=2231xyppA2 B3 C4 D89下列函数中，以为周期且在区间(，)单调递增的是242Af(x)=cos2x Bf(x)=sin2x Cf(x)=cosx Df(x)=sinx10已知(0，)，2sin2=cos2+1，则 sin=2A B 1555C D3325511设F为双曲线C：的右焦点，为坐标原点，以为直径的圆与22221(0,0)xyababOOF圆交于P，Q两点若，则C的离心率为222xyaPQOFA B 23C2D512设函数的定义域为 R R，满足，且当时，若对( )f x(1)2 ( )f xf x(0,1x( )(1)f xx x任意，都有，则m的取值范围是(,xm 8( )9f x AB 9,47,3第 4 页 共 14 页C D5,28,3二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13我国高铁发展迅速，技术先进经统计，在经停某站的高铁列车中，有 10 个车次的正点率为 0.97，有 20 个车次的正点率为 0.98，有 10 个车次的正点率为 0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为_14已知是奇函数，且当时，.若，则_( )f x0x ( )eaxf x (ln2)8fa 15的内角的对边分别为.若，则的面积为ABC, ,A B C, ,a b c6,2 ,3bac BABC_16中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图 1）半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体半正多面体体现了数学的对称美图 2 是一个棱数为 48 的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1则该半正多面体共有_个面，其棱长为_（本题第一空 2 分，第二空 3分）三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答第 22、23 为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共 60 分。第 5 页 共 14 页17（12 分）如图，长方体ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BEEC1（1）证明：BE平面EB1C1；（2）若AE=A1E，求二面角BECC1的正弦值18（12 分）11 分制乒乓球比赛，每赢一球得 1 分，当某局打成 10:10 平后，每球交换发球权，先多得 2分的一方获胜，该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为 0.4，各球的结果相互独立.在某局双方 10:10 平后，甲先发球，两人又打了X个球该局比赛结束.（1）求P（X=2）；（2）求事件“X=4 且甲获胜”的概率.19（12 分）已知数列an和bn满足a1=1，b1=0，.1434nnnaab1434nnnbba（1）证明：an+bn是等比数列，anbn是等差数列；（2）求an和bn的通项公式.20（12 分）已知函数. 11lnxf xxx第 6 页 共 14 页（1）讨论f(x)的单调性，并证明f(x)有且仅有两个零点；（2）设x0是f(x)的一个零点，证明曲线y=lnx在点A(x0，lnx0)处的切线也是曲线的exy 切线.21（12 分）已知点A(2,0)，B(2,0)，动点M(x,y)满足直线AM与BM的斜率之积为.记M的轨迹为曲12线C.（1）求C的方程，并说明C是什么曲线；（2）过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PEx轴，垂足为E，连结QE并延长交C于点G.（i）证明：是直角三角形；PQG（ii）求面积的最大值.PQG（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22选修 44：坐标系与参数方程（10 分）在极坐标系中，O为极点，点在曲线上，直线l过点且000(,)(0)M :4sinC(4,0)A与垂直，垂足为P.OM（1）当时，求及l的极坐标方程；0=30（2）当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程.23选修 45：不等式选讲（10 分）已知 ( ) |2|().f xxa xxxa（1）当时，求不等式的解集；1a ( )0f x （2）若时，求的取值范围.(,1)x ( )0f x a第 7 页 共 14 页2019 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学·参考答案一、选择题1.答案：A解答：或，.2|xxA3x1|xxB）（1 ,BA2.答案：C解析：，对应的点坐标为,故选 C.i 23z），（2-3-3答案：C解答：，(1,3)BCACABt 第 8 页 共 14 页，解得，22|1(3)1BCt 3t (1,0)BC .2AB BC 4答案：D解答：，121121 2232222()(1)()(1)MMMMMMRrRrrRRrR所以有，23 211 22222133(1)(1)(1)MMM rRR化简可得，可得.223 3312 2122 1333(1)3M rMMMRM2313MrRM5.答案：A解答：由于共 9 个评委，将评委所给分数从小到大排列，中位数是第 5 个，假设为，去掉a 一头一尾的最低和最高分后，中位数还是，所以不变的是数字特征是中位数。其它的数字a 特征都会改变。6.答案：C解答：由函数在上是增函数，且，可得，即.3yxRab33ab330ab7.答案：B解析：根据面面平行的判定定理易得答案.选 B.8.答案：D解答：抛物线的焦点是，椭圆的焦点是，)0(22ppxy)0 ,2(p1322 py px)0 ,2(p，.pp228p9.答案：A解答：对于 A,函数的周期,在区间单调递增,符合题意；|2cos|)(xxf2T,42对于 B,函数的周期,在区间单调递减,不符合题意；|2sin|)(xxf2T,42对于 C，函数，周期,不符合题意；xxxfcos|cos)(2T第 9 页 共 14 页对于 D,函数的周期,不符合题意.|sin)(xxfT10.答案：B解析：，(0,)222sin2cos214sincos2cos 则，所以，12sincostan2212 5cos1tan5所以.25sin1 cos511.答案:A解答：，,| |PQOFc90POQ又，解得，即.| |OPOQa222aac2c a2e 12.答案：B解答：由当，且当时，可知当时，xR(1)2 ( )f xf x(0,1x( )(1)f xx x(1,2x，当时，当时，231( )2()22f xx(2,3x25( )4()12f xx( ,1,xn nnZ，函数值域随变量的增大而逐渐减小，对任意的，都有221( )2 ()22nnf xxn(,xm 有解得的取值范围是。8( )9f x 23854()1()292mm 7 3m 二、填空题13.答案：0.98解答：经停该站的列出共有 40 个车次，所有车次的平均正点率的估计值为。10 0.9720 0.98 10 0.990.9840P第 10 页 共 14 页14.答案：3解答：，ln2ln2(ln2)( ln2)()()28aaaffee .3a 15.答案：36解析：,21 4364 23coscos222222 ccc acbcaB.1132 3,4 3,sin4 32 36 3222caSacB 16.答案：26；2-1解析：由图 2 结合空间想象即可得到该正多面体有 26 个面；将该半正多面体补成正方体后， 根据对称性列方程求解.三、解答题17解：（1）由已知得，平面，平面，故又11BC 11ABB ABE 11ABB A11BC BE，所以平面1BEECBE 11EBC（2）由（1）知由题设知，所以，190BEBRtABE11RtAB E45AEB故，以为坐标原点，的方向为x轴正方向，为单位长，建立AEAB12AAABDDA |DA 如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则C（0，1，0），B（1，1，0），（0，1，2），E（1，0，1），1C(1,0,0)CB ，(1, 1,1)CE 1(0,0,2)CC 第 11 页 共 14 页设平面EBC的法向量为n n=（x，y，x），则即所以可取n n=.0,0,CBCE nn0, 0,x xyz (0, 1, 1) 设平面的法向量为m m=（x，y，z），则1ECC即所以可取m m=（1，1，0）10,0,CCCE mm20,0.zxyz 于是所以，二面角的正弦值为1cos,|2 n mn mn m1BECC3 218解：（1）X=2就是1010平后，两人又打了2个球该局比赛结束，则这2个球均由甲得分，或者均由乙得分因此P（X=2）=0.5×0.4+（10.5）×（10.4）=0.5（2）X=4且甲获胜，就是1010平后，两人又打了4个球该局比赛结束，且这4个球的得分情况为：前两球是甲、乙各得1分，后两球均为甲得分因此所求概率为0.5×（10.4）+（10.5）×0.4×0.5×0.4=0.119解：（1）由题设得，即114()2()nnnnabab111()2nnnnabab又因为a1+b1=l，所以是首项为1，公比为的等比数列nnab1 2由题设得，即114()4()8nnnnabab112nnnnabab又因为a1b1=l，所以是首项为1，公差为2的等差数列nnab（2）由（1）知，11 2nnnab21nnabn所以，111()()222nnnnnnaababn111()()222nnnnnnbababn20解：（1）f（x）的定义域为（0，1）（1，+）第 12 页 共 14 页因为，所以在（0，1），（1，+）单调递增212( )0(1)f' xxx( )f x因为f（e）=，所以f（x）在（1，+）有唯一零e 110e 122 2 22e1e3(e )20e1e1f点x1，即f（x1）=0又，故f（x）在（0，1）1101x1 11 1111()ln()01xfxf xxx 有唯一零点11 x综上，f（x）有且仅有两个零点（2）因为，故点B（lnx0，）在曲线y=ex上0ln01ex x01 x由题设知，即，故直线AB的斜率0()0f x0 0 01ln1xxx0 0 00000000 0111ln11 1ln 1xxxxxkxxxxxx曲线y=ex在点处切线的斜率是，曲线在点处切线的斜率也0 01( ln,)Bxx01 xlnyx00(,ln)A xx是，01 x所以曲线在点处的切线也是曲线y=ex的切线lnyx00(,ln)A xx21解：（1）由题设得，化简得，所以C为中心在坐标1 222yy xx 22 1(| 2)42xyx原点，焦点在x轴上的椭圆，不含左右顶点（2）（i）设直线PQ的斜率为k，则其方程为(0)ykx k由得22 142ykxxy2212x k 记，则 2212u k ( ,),(,),( ,0)P u uk QuukE u第 13 页 共 14 页于是直线的斜率为，方程为QG2k()2kyxu由得22(),2142kyxuxy 22222(2)280kxuk xk u设，则和是方程的解，故，由此得(,)GGG xyuGx22(32) 2Gukxk322Gukyk从而直线的斜率为PG322212 (32) 2ukukk ukkuk 所以，即是直角三角形PQPGPQG（ii）由（i）得，所以PQG的面积2| 21PQuk2221|2uk kPGk222218()18 (1)|12(12)(2)12()kkkkSPQ PGkkkk设t=k+，则由k>0 得t2，当且仅当k=1 时取等号1 k因为在2，+）单调递减，所以当t=2，即k=1 时，S取得最大值，最大值28 12tSt为16 9因此，PQG面积的最大值为16 922解：（1）因为在C上，当时，00,M 0304sin2 33由已知得| |cos23OPOA第 14 页 共 14 页设为l上除P的任意一点在中，( , )Q RtOPQcos| 23OP经检验，点在曲线上(2,)3Pcos23所以，l的极坐标方程为cos23（2）设，在中， 即( , )P RtOAP| |cos4cos ,OPOA 4cos因为P在线段OM上，且，故的取值范围是APOM,4 2 所以，P点轨迹的极坐标方程为 4cos ,4 223解：（1）当a=1 时，( )=|1| +|2|(1)f xxxxx当时，；当时，1x 2( )2(1)0f xx 1x ( )0f x 所以，不等式的解集为( )0f x (,1)（2）因为，所以( )=0f a1a 当，时，1a (,1)x ( )=() +(2)()=2()(1)<0f xax xx xaax x所以，的取值范围是a1,)