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    2019年北京市高考理科数学试题&试题解析.docx

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    2019年北京市高考理科数学试题&试题解析.docx

    第 1 页 共 21 页2019 年北京市高考理科数学试题 (2). .,0【解析】首先由奇函数的定义得到关于的恒等式,据此可得的值,然后利用导函数的解析aa式可得 a 的取值范围.【详解】若函数为奇函数,则, xxf xeae ,xxxxfxf xeaeeae 对任意的恒成立.1 0xxaeex若函数是上的增函数,则恒成立,. xxf xeaeR ' 0xxfxeae2,0xaea即实数的取值范围是a,0【点睛】本题考查函数的奇偶性单调性利用单调性确定参数的范围.解答过程中,需利用转化与化归思想,转化成恒成立问题.注重重点知识基础知识基本运算能力的考查.14.【答案】 (1). 130. (2). 15.【解析】 (1)将购买的草莓和西瓜加钱与 120 进行比较,再根据促销规则可的结果;(2)根据、分别探究.120y120y 【详解】 (1)x=10,顾客一次购买草莓和西瓜各一盒,需要支付(60+80)-10=130 元.(2)设顾客一次购买水果的促销前总价为y元,元时,李明得到的金额为y×80%,符合要求.120y元时,有(y-x)×80%y×70%成立,120y 即 8(y-x)7y,x,即x()min=15 元.8y 8y第 14 页 共 21 页所以x的最大值为 15.【点睛】本题主要考查不等式的概念与性质、数学的应用意识、数学式子变形与运算求解能力,有一定难度.三、解答题(共6小题,共80分)15.【答案】() ;375abc () .237【解析】()由题意列出关于a,b,c的方程组,求解方程组即可确定b,c的值;()由题意结合正弦定理和两角和差正余弦公式可得的值.sin BC【详解】()由题意可得:,解得:.2221cos22 23acbBac bca 375abc ()由同角三角函数基本关系可得:,23sin1 cos2BB结合正弦定理可得:,sinsinbc BCsin5 3sin14cBCb很明显角C为锐角,故,211cos1 sin14CC故.2sinsincoscossin37BCBCBC【点睛】本题主要考查余弦定理、正弦定理的应用,两角和差正余弦公式的应用等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.第 15 页 共 21 页16.【答案】()见解析;() ;()见解析.3 3【解析】()由题意利用线面垂直的判定定理即可证得题中的结论;()建立空间直角坐标系,结合两个半平面的法向量即可求得二面角F-AE-P的余弦值;()首先求得点G的坐标,然后结合平面的法向量和直线AG的方向向量可判断直线是AEF否在平面内.【详解】()由于PA平面ABCD,CD平面ABCD,则PACD,由题意可知ADCD,且PAAD=A,由线面垂直的判定定理可得CD平面PAD.()以点A为坐标原点,平面ABCD内与AD垂直的直线为x轴,AD,AP方向为y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,Axyz易知:,0,0,0 ,0,0,2 ,2,2,0 ,0,2,0APCD由可得点F的坐标为,1 3PFPC 2 2 4,3 3 3F由可得,1 2PEPD 0,1,1E设平面AEF的法向量为:,则, ,mx y z第 16 页 共 21 页, 2 2 4224, ,03 3 3333 , ,0,1,10m AFx y zxyzm AEx y zyz 据此可得平面AEF的一个法向量为:,1,1, 1m 很明显平面AEP的一个法向量为,1,0,0n ,13cos,33 1m nm n mn 二面角F-AE-P的平面角为锐角,故二面角F-AE-P的余弦值为.3 3()易知,由可得,0,0,2 ,2, 1,0PB2 3PGPB 42 2,33 3G则,42 2,33 3AG注意到平面AEF的一个法向量为:,1,1, 1m 其且点A在平面AEF内,故直线AG在平面AEF内.0m AG 17.【答案】() ;()见解析;()见解析.2 5【解析】()由题意利用古典概型计算公式可得满足题意的概率值;()首先确定X可能的取值,然后求得相应的概率值可得分布列,最后求解数学期望即可.()由题意结合概率的定义给出结论即可.【详解】()由题意可知,两种支付方式都是用的人数为:人,则:1003025540该学生上个月A,B两种支付方式都使用的概率.402 1005p ()由题意可知,第 17 页 共 21 页仅使用A支付方法的学生中,金额不大于 1000 的人数占,金额大于 1000 的人数占,3 52 5仅使用B支付方法的学生中,金额不大于 1000 的人数占,金额大于 1000 的人数占,2 53 5且X可能的取值为 0,1,2.,32605525p X 22321315525p X32625525p X X的分布列为:X012 p X6 2513 256 25其数学期望:. 61360121252525E X ()我们不认为样本仅使用A的学生中本月支付金额大于 2000 元的人数有变化.理由如下:随机事件在一次随机实验中是否发生是随机的,是不能预知的,随着试验次数的增多,频率越来越稳定于概率。学校是一个相对消费稳定的地方,每个学生根据自己的实际情况每个月的消费应该相对固定,出现题中这种现象可能是发生了“小概率事件”.【点睛】本题以支付方式相关调查来设置问题,考查概率统计在生活中的应用,考查概率的定义和分布列的应用,使学生体会到数学与现实生活息息相关.18.【答案】() ,;()见解析.24xy 1y 【解析】()由题意结合点的坐标可得抛物线方程,进一步可得准线方程;第 18 页 共 21 页()联立准线方程和抛物线方程,结合韦达定理可得圆心坐标和圆的半径,从而确定圆的方程,最后令x=0 即可证得题中的结论.【详解】()将点代入抛物线方程:可得:,2, 1 2221p 2p 故抛物线方程为:,其准线方程为:.24xy 1y ()很明显直线 的斜率存在,焦点坐标为,l0, 1设直线方程为,与抛物线方程联立可得:.1ykx24xy 2440xkx故:.12124 ,4xxk x x 设,则,22 12 12,44xxMxN x12,44OMONxxkk 直线的方程为,与联立可得:,同理可得,OM1 4xyx 1y 14, 1Ax24, 1Bx易知以AB为直径的圆的圆心坐标为:,圆的半径为:,1222, 1xx1222 xx且:,1212122222xxkxxx x2 121221212422221xxx xkxxx x则圆的方程为:,2222141xkyk令整理可得:,解得:,0x 2230yy123,1yy 即以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点. 0, 3 , 0,1【点睛】本题主要考查抛物线方程的求解与准线方程的确定,直线与抛物线的位置关系,圆的方程的求解及其应用等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.19.【答案】 ()和.0xy2727640xy()见解析;().3a 第 19 页 共 21 页【解析】()首先求解导函数,然后利用导函数求得切点的横坐标,据此求得切点坐标即可确定切线方程;()由题意分别证得和即可证得题中的结论; 60f xx 0f xx()由题意结合()中的结论分类讨论即可求得a的值.【详解】 (),令得或者.23( )214fxxx23( )2114fxxx 0x 8 3x 当时,此时切线方程为,即;0x (0)0fyx0xy当时,此时切线方程为,即;8 3x 88( )327f64 27yx2727640xy综上可得所求切线方程为和.0xy2727640xy()设,令得或者321( )( )4g xf xxxx23( )24g xxx23( )204g xxx0x ,所以当时,为增函数;当时,为减8 3x 2,0x ( )0g x( )g x8(0, )3x( )0g x( )g x函数;当时,为增函数;8 ,43x( )0g x( )g x而,所以,即;(0)(4)0gg( )0g x ( )f xx同理令,可求其最小值为,所以,即321( )( )664h xf xxxx( 2)0h ( )0h x ,综上可得.( )6f xx6( )xf xx()由()知,6( )0f xx 所以是中的较大者,( )M a,6aa若,即时,;6aa3a( )3M aaa 若,即时,;6aa3a ( )663M aaa所以当最小时,此时.( )M a( )3M a 3第 20 页 共 21 页【点睛】本题主要考查利用导函数研究函数的切线方程,利用导函数证明不等式的方法,分类讨论的数学思想等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.20.【答案】() 1,3,5,6.()见解析;()见解析.【解析】()由题意结合新定义的知识给出一个满足题意的递增子列即可;()利用数列的性质和递增子列的定义证明题中的结论即可;()观察所要求解数列的特征给出一个满足题意的通项公式,然后证明通项公式满足题中所有的条件即可.【详解】()满足题意的一个长度为 4 的递增子列为:1,3,5,6.()对于每一个长度为的递增子列,都能从其中找到若干个长度为的递增子列q12,qa aap,此时,12,pa aapqaa设所有长度为的子列的末项分别为:,q123,qqqaaa所有长度为的子列的末项分别为:,p123,pppaaa则,0123min,nqqqaaaa注意到长度为的子列可能无法进一步找到长度为的子列,pq故,0123min,mpppaaaa据此可得:00mnaa()满足题意的一个数列的通项公式可以是,1,2,1,4,3,6,5,8,7,1,nnnann为偶数为奇数下面说明此数列满足题意.很明显数列为无穷数列,且各项均为正整数,任意两项均不相等.长度为 的递增子列末项的最小值为 2s-1,s第 21 页 共 21 页下面用数学归纳法证明长度为s末项为 2s-1 的递增子列恰有个:12s1,2,s 当时命题显然成立,1n 假设当时命题成立,即长度为k末项为 2k-1 的递增子列恰有个,nk 12k则当时,对于时得到的每一个子列,1nknk 121,21 ksssaaak 可构造:和两个满足题意的递增子121,21,211 ksssaaakk 121,2 ,211 ksssaaakk 列,则长度为k+1 末项为 2k+1 的递增子列恰有个,1112 222kkk综上可得,数列是一个满足题意的数列的通项公式.1,2,1,4,3,6,5,8,7,1,nnnann为偶数为奇数注:当时,所有满足题意的数列为:,3s 2,3,5 , 1,3,5 , 2,4,5 , 1,4,5当时,数列对应的两个递增子列为:和.4s 2,3,52,3,5,72,3,6,7【点睛】 “新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种,然后根据此新定义去解决问题,有时还需要用类比的方法去理解新的定义,这样有助于对新定义的透彻理解.但是,透过现象看本质,它们考查的还是基础数学知识,所以说“新题”不一定是“难题” ,掌握好三基,以不变应万变才是制胜法宝.

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