第一节预备知识.ppt
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1、第一节 预备知识,1、乘法原理,一、乘法原理 排列及组合,2、排列,则由乘法原理得,特别,当n = m时,称该排列为一个全排列,所有全排列的个数为,例1 从1,2,3,4,5,6这六个数字中任取五个组成五位数,问共能组成多少个五位数?,解,从六个不同数中任取五个组成五位数,相当于从六个数中任取五个数生成一个排列,因,此,所有可能组成五位数共有,例2 从0,1,2,3,4,5, 这六个数字中任取四个,问能组成多少个四位偶数?,解,组成的四位数是偶数,要求末位为0,2或,种,而0不能作首位,所以所组成的偶数个数为,4,可先选末位数,共 种,前三位数的选取方法有,3、组合,特别,当n= m时, 而且
2、,所以从n个元素中取m个元素组成的组合数为,例 3 从10名战士中选出3名组成一个突击队,问共有多少种组队方法?,解: 按组合的定义,组队方法共有,(种)。,二、集合及其运算,集合:具有某类共同性质的事物的全体。关于集合之间的关系,常见的有以下几种:,1、子集:若A、B为两个集合,且B中所有元素都是A中的元素,则称B为A的子集。,2、并集:由属于A或B的所有元素组成的集合,记为:,记为:,称为A与B的并集。,3、交集:由同时属于A和B的所有元素组成的集合称为A与B的交集。,记为:,4.差集:由属于A但不属于B的所有元素组成的集合称为A与B的差集。,记为:,关于集合之间的运算规律,这里只介绍对偶
3、律。,5、余集(补集):若U是包含所有元素的集合, ,称U为全集。(U-A)为集合A在全集U中的余集或补集。,第二节 随机事件及其运算,一、随机试验与事件,人们在生产实践和科学实验中,发现对自然界和社会上所观察到的现象大体分为两类:,一类是事前可以预料的,即在一定条件下必然发生或必然不发生的现象,称之为必然现象或决定性的现象;,另一类是事前不可预料的,即在相同条件下重复进行观察或试,验时,有时出现有时不出现的现象,称之为偶然现象或随机现象。,随机现象有其偶然性的一面,也有其必然性的一面,这种必然性表现在大量重复试验或观察中呈现出的固有规律性,称为随机现象的统计规律性。,概率论正是研究随机现象统
4、计规律性的一门学科。现在,就让我们一起,步入这充满随机性的世界,开始探索和研究。,对自然现象的观察或进行一次试验,统称为一个试验。用大写英文字母E表示。,例如:,掷骰子试验掷一颗骰子,观察出现的点数,上面这些例子,尽管内容各异,但它们有着共同的特点。我们有以下的定义。,随机试验:,如果试验可以在相同条件下重复进行;试验所有发生的结果是不止一个且是已知的;但每次试验的结果事前是不能确定的,这样的试验称为随机试验。,在随机试验中,我们往往会关心某个或某些结果是否会出现。这就是,随机事件。,在一次试验中可能发生也可能不发生的事件称为随机事件,简称事件。,一般用字母A,B,C等表示。,事件分为基本事件
5、和复合事件。,例如,在掷骰子试验中,观察掷出的点数。Ai =掷出i点 i=1,2,3,4,5,6,它们都是基本事件。,复合事件:两个或一些基本事件并在一起,,就构成一个复合事件。,例如 ,B=掷出奇数点,就是复合事件。,两个特殊的事件:,必然事件就是在试验中必定发生的事件,常用S或表示;,例如, “掷出点数小于7”是必然事件;,而“掷出点数8”则是不可能事件。,不可能事件就是在一次试验中不可能发生的事件,常用表示 。,现在,让我们再看一个从死亡线上生还的故事。,本来,这位犯臣抽到“生”还是“死”是一个随机事件,且抽到“生”和“死”的可能性各占一半,也就是各有1/2概率. 但由于国王一伙“机关算
6、尽”,通过偷换试验条件,想把这种概率只有1/2 的“抽到死签”的随机事件,变为概率为1的必然事件,终于搬起石头砸了自己的脚,反使犯臣得以死里逃生。,.e,现代集合论为表述随机试验提供了一个方便的工具 。,二 、样本空间,我们把随机试验的每个基本结果称为样本点,记作e 或. 全体样本点的集合称为样本空间。样本空间用S或表示。,样本点e,如果试验是将一枚硬币抛掷两次,则样本空间由如下四个样本点组成:,S=(H,H), (H,T), (T,H), (T,T),样本空间在如下意义上提供了一个理想试验的模型:,在每次试验中必有一个样本点出现且仅有一个样本点出现 .,三 、事件的关系与运算,为了研究事件的
7、需要,下面介绍事件间 的几种主要关系以及事件的运算。,1、若事件A发生必然导致事件B发生,则称事件A为事件B的子事件。,为了方便起见,规定对任一事件 ,,记为:,2、 若事件A与事件B至少有一个发生,这一事件称为事件A与事件B的和事件,,记为:,3、事件A与事件B同时发生,这一事件称为事件A与事件B的积事件,,记为:,5、事件A与事件B不能同时发生,则称A与B为互斥事件或互不相容事件。,4、事件A发生而事件B不发生,这事件称为事件A与事件B的差事件。,记为:,实际上事件之间的运算关系与集合之间的运算关系是相同的,从集合的运算法则可以得到事件的运算法则:,2、分配律,3、结合律,4、对偶律,1、
8、交换律,例1 设A,B,C是三个事件,则,1 、“A发生而B,C都不发生”可表示为:,2、 “A与B发生而C不发生”可表示为:,AB-C 或AB 或AB-ABC。,(1)只有第一枪击中;,(2)至少有一枪击中;,(4)三枪都未击中;,(3)至少有两枪击中;,解,(4)三枪都未击中可表示为:,(3)至少有两枪击中可表示为:,第三节 概率的定义与运算,对于事件发生的的可能性大小,需要用一个数量指标去刻画它,这个指标应该是随机事件本身所具有的属性,不能带有主观性,且能在大量重复实验中得到验证,必须符合常情。我们把刻画事件发生的可能性大小的数量指标叫做事件的概率。,一、概率的直观定义,次实验中发生的可
9、能性是一样的.,1 、古典概型,古典概率是一类比较简单,直观的随机试验,有以下两个明显特征:,(1)试验所有可能的结果个数有限,即基本事件个数有限,分别记为,样本空间为,称此概率为古典概率. 这种确定概率的方法称为古典方法。,这样就把求概率问题转化为计数。,例 1 一批产品由90件正品和10件次品组成,从中任取一件,问取得正品的概率多大?,解 设“取得一件产品是正品”这一事件为A,则因为每一件产品都有可能被抽出来,总的抽取方法有(90+10)种,而取得正品的取法有90种,按古典概率的定义,,所求概率为 P(A)= =0.9,排列组合是计算古典概率的重要工具 。,例 2 一批产品由95件正品和5
10、件次品组成,连续从中抽取两件,第一次取出后不再放回,问第一次抽得正品且第二次抽得次品的概率多大?,解 用A表示事件“第一次取得正品且第二次取得次品”,由于是无放回地抽取,应用乘法原理可知总的抽取方法有:10099种,而第一次抽正品的方法有95种,第二次取次品的方法有5种,则A中包含的抽取方法,例 3 在例2中,若仍是不放回抽取两件产品,要求计算“抽得一件为正品,一件为次品”,的概率。,共955种,所求概率为:,解 设A表示“第一次抽得正品且第二次抽得次品”,B表示“第一次抽得次品且第二次抽得正品”,显然A与B是互斥事件, (A+B),表示事件“一次取得正品,一次取得次品”,从而所求概率为:,例
11、4 从0,1,2,3,4,5,这六个数中任取三个数进行排列,问取得三个数字排成的三位数且是偶数的概率有多大?,解,用A表示“组成三位数且是偶数”,则总的排列方法共有 种,,而排成的三位中,则所求的概率为,种,即事件A中包含 种,,末位为0的有 种,末位不为0的共有,2、 几何概率,早在概率论发展初期,人们就认识到,只考虑有限个等可能样本点的古典方法是不够的。,在古典概型中,把试验个数有限改为无限,等可能性不变。人们引入了几何概型。由此形成了确定概率的另一方法几何方法。,几何方法的要点是:,(1)设样本空间 是平面上某个区域,它的面积记为 ;,(2)向区域 上随机投掷一点,这里“随机投掷一点”的
12、含义是指该点落入 内任何部分区域内的可能性只与这部分区域的面积成比例,而与这部分区域的位置和形状无关。,(3)设事件A是 的某个区域,它的面积为(A),则向区域 上随机投掷一点,该点落,(*),(4)假如样本空间 可用一线段,或空间中某个区域表示,并且向 上随机投掷一点的含义如前述,则事件A的概率仍可用(*)式确定,只不过把 理解为长度或体积即可。,例1 甲、乙两个相约在0到T这段时间内,在预定地点会面,先到的人等候另一个,经过时间 t离去。设每人在0到T这段时间内各时刻到达该地是等可能的,且两人到达的时刻互不相连。试求甲、乙两人能会面的概率?,解,以x、y表示甲、乙两人到达的时刻,则,若以
13、x、y 表示平面上点的坐标,而所有可能,到达时刻组成的点可以用平面上边长为T的正方形 内所有的点表示出来,两人能会面的充分必要条件是:,则所求的概率为:,3、概率的统计定义,在一般情况下,是不是可以用数字来度量随机事件发生的可能性的大小呢 ?为了回答这个问题,我们先引进频率的概念。,设随机事件A在n次试验中发生了r次,则称比值 为这n次试验中事件A发生的频率,即,在了解了定义之后,下面我们从试验入手,揭示随机事件一个极其重要的特征:,频率在一定程度上反映了事件发生的可能性大小。尽管每进行一连串(n次)试验,所得到的频率可以各不相同,但只要n相当大,频率与概率是会非常接近的。,因此,概率是可以通
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