3.正方形(基础)知识讲解+练习.doc
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1、|正方形(基础)【学习目标】1理解正方形的概念,了解平行四边形、矩形及菱形与正方形的概念之间的从属关系;2掌握正方形的性质及判定方法【要点梳理】【高清课堂 特殊的平行四边形(正方形) 知识要点】要点一、正方形的定义四条边都相等,四个角都是直角的四边形叫做正方形.要点诠释:既是矩形又是菱形的四边形是正方形,它是特殊的菱形,又是特殊的矩形,更为特殊的平行四边形,正方形是有一组邻边相等的矩形,还是有一个角是直角的菱形.要点二、正方形的性质正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质.1.边四边相等、邻边垂直、对边平行;2.角四个角都是直角;3.对角线相等,互相垂直平分,每条对角线平分一组对角;
2、4.是轴对称图形,有 4 条对称轴;又是中心对称图形,两条对角线的交点是对称中心.要点诠释:正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质,其对角线将正方形分为四个等腰直角三角形.【典型例题】类型一、正方形的性质1、 (2015扬州校级一模)如图,在正方形 ABCD 中,边长为 2 的等边三角形 AEF 的顶点 E、F 分别在 BC 和 CD 上下列结论:CE=CF;AEB=75;BE+DF=EF;S 正方形ABCD=2+ 其中正确的个数为( )A.1 B.2 C.3 D.4 【思路点拨】根据三角形的全等的知识可以判断的正误;根据角角之间的数量关系,以及三角形内角和为 180判断的正误;根据线段垂
3、直平分线的知识可以判断的正误,利用解三角形求正方形的面积等知识可以判断的正误【答案与解析】解:四边形 ABCD 是正方形,AB=AD,AEF 是等边三角形,AE=AF,在 RtABE 和 RtADF 中,|RtABERtADF(HL) ,BE=DF,BC=DC,BCBE=CDDF,CE=CF,说法正确;CE=CF,ECF 是等腰直角三角形,CEF=45,AEF=60,AEB=75,说法正确;如图,连接 AC,交 EF 于 G 点,ACEF,且 AC 平分 EF,CAFDAF,DFFG,BE+DFEF,说法错误;EF=2,CE=CF= ,设正方形的边长为 a,在 RtADF 中,a2+(a )
4、2=4,解得 a= ,则 a2=2+ ,S 正方形 ABCD=2+ ,说法正确,正确的有故选 C【总结升华】本题主要考查正方形的性质的知识点,解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的证明以及辅助线的正确作法,此题难度不大,但是有一点麻烦举一反三:【变式 1】已知:如图,E 为正方形 ABCD 的边 BC 延长线上的点,F 是 CD 边上一点,且CECF,连接 DE,BF求证:DEBF|【答案】证明:四边形 ABCD 是正方形,BCDC,BCD90E 为 BC 延长线上的点,DCE90,BCDDCE在BCF 和DCE 中,BCDFE,BCFDCE(SAS),BFDE【高清课堂 特殊的平行四边形(正方
5、形) 例 1】【变式 2】 (2015咸宁模拟)如图,在正方形 ABCD 外侧,作等边三角形 ADE,AC,BE 相交于点 F,则BFC 为( )A75 B60 C55 D45【答案】B;提示:四边形 ABCD 是正方形,BAD=90,AB=AD,BAF=45,ADE 是等边三角形,DAE=60,AD=AE,BAE=90+60=150,AB=AE,ABE=AEB= (180150)=15,BFC=BAF+ABE=45+15=60;故选:B2、如图,四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形,点 G 是 BC 延长线上一点,连接 AG,点E、F 分别在 AG 上,连接 BE、DF,12,34|(1
6、)证明:ABEDAF;(2)若AGB30,求 EF 的长【思路点拨】要证明ABEDAF,已知12,34,只要证一条边对应相等即可要求 EF 的长,需要求出 AF 和 AE 的长【答案与解析】(1)证明:四边形 ABCD 是正方形,ADAB,12,34,DAFABE(2)解:四边形 ABCD 是正方形,AGB30,ADBC,1AGB30,14DAB90,34,1390,AFD180(13)90,DFAG,DF 12ADAF 3ABEDAF,AEDF1,EF 【总结升华】通过证三角形全等得到边和角相等,是有关四边形中证边角相等的最常用的方法而正方形的四条边相等,四个角都是直角为证明三角形全等提供了
7、条件 举一反三:【变式】如图,A、B、C 三点在同一条直线上,AB2BC,分别以 AB,BC 为边做正方形ABEF 和正方形 BCMN 连接 FN,EC求证:FNEC【答案】证明:在正方形 ABEF 中和正方形 BCMN 中,|ABBEEF,BCBN,FENEBC90,AB2BC,即 BCBN 12ABBN 12BE,即 N 为 BE 的中点,ENNBBC,FNEECB,FNEC要点三、正方形的判定正方形的判定除定义外,判定思路有两条:或先证四边形是菱形,再证明它有一个角是直角或对角线相等(即矩形) ;或先证四边形是矩形,再证明它有一组邻边相等或对角线互相垂直(即菱形).类型二、正方形的判定3
8、、如图所示,在 RtABC 中,C90,BAC、ABC 的平分线相交于点 D,且DEBC 于点 E,DFAC 于点 F,那么四边形 CEDF 是正方形吗?请说明理由【答案与解析】解:是正方形,理由如下:作 DGAB 于点 G AD 平分BAC,DFAC,DGAB, DFDG同理可得:DGDE DFDE DFAC,DEBC,C90, 四边形 CEDF 是矩形 DFDE 四边形 CEDF 是正方形【总结升华】(1)本题运用了“有一组邻边相等的矩形是正方形”来判定正方形(2)证明正方形的方法还可以直接通过证四条边相等加一个直角或四个角都是直角来证明正方形举一反三:【变式】如图,点 O 是线段 AB
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