高考~专题复习:平面向量.doc
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1、|高考复习专题:平面向量第 1 节 平面向量的概念及其线性运算向量专题复习1.向量的有关概念:(1)向量的定义:既有大小又有方向的量。向量可以任意平移。(2)零向量:长度为 0 的向量叫零向量,记作: .0(3)单位向量:长度为一个单位长度的向量叫做单位向量。任意向量的单位化:与 共线的单位向量是 .ABAB(4)相等向量:长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量。(5)平行向量又叫共线向量,记作: .ab向量 与 共线,则有且仅有唯一一个实数 ,使 ;)0(abab规定:零向量和任何向量平行;两个向量平行包含两个向量共线,但两条直线平行不包含两条直线重合;相等向量一定是共线向量,但共线向量不一
2、定相等;(6)向量的加法和减法满足平行四边形法则或三角形法则;|(6)2.平面向量的坐标表示及其运算:(1)设 , ,则 ;),(1yxa),(2yxb),(212yxba(2)设 , ,则 ;, ,(3)设 、 两点的坐标分别为 , ,则 = ;A1,xy2AB),(12yx(4)设 , ,向量平行 ;),(1yxa),(2bba/121yx(5)设两个非零向量 , ,则 ,,1yxa),(2yx所以 ;002ba(6)若 ,则 ;),(yxyxa(7)定比分点:设点 是直线 上异于 的任意一点,若存在一个实数P21,p21,p,使|,则 叫做点 分有向线段 所成的比, 点叫做有向线段 的2
3、1PP21P21P以定比为 的定比分点;当 分有向线段 所成的比为 ,则点 分有向线段所成的比为 .211注意:设 、 , 分有向线段 所成的比为 ,则1(,)Pxy2(,)xy(,)Px21P, 21xy在使用定比分点的坐标公式时,应明确 , 、 的意义,即分别(,)xy1,)2(,)xy为分点,起点,终点的坐标。在具体计算时应根据题设条件,灵活地确定起点,分点和终点,并根据这些点确定对应的定比 .当 时,就得到线段 的中12P点公式 .12xy 的符号与分点 的位置之间的关系:P当 点在线段 上时 ;P210当 点在线段 的延长线上时 ;1当 点在线段 的反向延长线上时 ;21 03.平面
4、向量的数量积:(1)两个向量的夹角:对于非零向量 、 ,作 , ,abaOAbBAO称为向量 、 的夹角。0ab(2)平面向量的数量积:如果两个非零向量 、 ,它们的夹角为 ,我们把ab|数量 叫做 与 的数量积(或内积或点积) ,记作: ,即cosbaab ba.零向量与任一向量的数量积是 0,注意:向量的数量积是一个实数,不再是一个向量。(3) 在 上的投影为 ,投影是一个实数,不一定大于 0.bacosb(4) 的几何意义:数量积 等于 与 在 上的投影的乘积。aba(5)向量数量积的应用:设两个非零向量 、 ,其夹角为 ,则,bacos当 时, 为直角;0当 时, 为锐角或 同向;ba
5、ba,当 时, 为钝角或 反向;0 ,(6)向量三角不等式:baba当 同向 , ;ba,当 反向 , ;,baba当 不共线 ;ba, |4.平面向量的分解定理(1)平面向量分解定理:如果 、 是同一平面内的两个不共线向量,那么对1e2于这一平面内的任意向量 ,有且只有一对实数 、 ,使 成立,a1221ea我们把不共线的向量 、 叫做这一平面内所有向量的一组基底 。1e2(2)O 为平面任意一点, A、B、C 为平面另外三点,则 A、B、C 三点共线且 .BA21 215.空间向量空间向量是由平面向量拓展而来的,它是三维空间里具有大小和方向的量,它的坐标表示有 x,y ,z. 空间向量的性
6、质与平面向量的性质相同或相似,故在学习空间向量时,可进行类比学习。如,若 、 、 三个向量共面,则 .同时,对于空间任意MP MA MB MByAxP一点 O,存在 ,其中 OnmByAx_1_nm考点一:向量的概念例 1 给出下列四个命题:若| a| b|,则 a b 或 a b; 若 ,则四边形 ABCD 为平行四边形;若 a 与 b 同向,且| a|b|,则 ab; , 为实数,若 a b,则 a 与|b 共线其中假命题的个数为( ) A1 B2 C3 D4答案 D.下列说法中错误的是( )A有向线段可以表示向量但不是向量,且向量也不是有向线段B若向量 a 和 b 不共线,则 a 和 b
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