高等数学-习题内容答案-方明亮-第一章.doc
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1、|习 题 1-11求下列函数的自然定义域:(1) ; 21yx解:依题意有 ,则函数定义域 0()|2x1Dx且(2) ;21arcos36xy解:依题意有 ,则函数定义域 20x()Dx(3) ;ln(3)y解:依题意有 ,则函数定义域 2 ()|12x(4) ;31x解:依题意有 ,则函数定义域 0()|x0,1D且(5) sin1,2;xy, , 解:依题意有定义域 ()|Dx(6) .1arctn3yx解:依题意有 ,则函数定义域 0()|3x0Dx且2已知 定义域为 ,求()fx,12(, sin, ), ()()ffaffa( )的定义域0a解:因为 定义域为 ,所以当 时,得函数
2、 的定义域为f0,201x2fx;1,当 时,得函数 定义域为 ;sin1x(sin)fx,()k当 时,得函数 定义域为 ;0aaa当 时,得函数 定义域为:(1)若 ,()()ff 12a;(2)若 , ;(3)若 , ,1x12x2x3设 其中 求函数值 22() ,afx0,a(),1fa解:因为 ,则2221xf, 221()4afa20 ,11()1110时,不等式 成立971, 2|a|(3)要使 成立, 取 ,那么当 时, 2|3na13,9n139NnN2|na成立.2根据数列极限的定义证明:(1) ; (2) lim0!n23lim1n解:(1) , 要使 , 只要取 ,
3、所以,对任1|0|! N意 ,存在 ,当 时,总有 ,则 .01NnN|0|nli0!n(2) ,要使 , 即 ,只要取02 2233|1|()32,所以,对任意的 0,存在 , 当 , 总有 , 32nN|1|n则 .lim1n3若 证明 并举例说明:如果数列 有极限,但linxa, lim|nxa|nx数列 未必有极限n证明: 因为 , 所以 , , 当 时, 有 .不妨假lin01N1n|na设 a0, 由收敛数列的保号性可知: , 当 时, 有 , 取220x, 则对 , , 当 时 , 有 .故12maxN |nn. 同理可证 时, 成立.li|n0alim|nxa反之,如果数列 有
4、极限, 但数列 未必有极限.如:数列 , |nx|n 1nnx, 显然 , 但 不存在|1nxli1nlin4设数列 有界,又 证明: 0yli0nxy证明: 依题意,存在 M0, 对一切 n都有 , 又 , 对 , |Mlimny0存在 , N当 时, , 因为对上述 , 当 时, ,由n|0|nyN|0|nnnxMy的任意性, 则 limnx5设数列 的一般项 ,求 1(3)cos2nxlin解: 因为 , , 所以 .1li0xn()|s|1(3)mcos02x6对于数列 ,若 , ,证明:21kxA2(kA()nxA证明: 由于 , 所以, , , 当 时,有 , 21limk01N1
5、k21|kxA|同理, , , 当 时, 有 取 =max , , 02N2k2|kxAN120当 时, 成立, 故 n|nxA()nx习 题 1-31当 时, 问 等于多少,使当 时,x234yx|1|x?|4|0.y解:令 ,则 ,要使1|5|1|2,2 5|4|3|1|0.12yxxx只要 ,所以取 ,使当 时, 成立 |1|0.x0.4|4|y2当 时, 问 等于多少,使当 时,x213xyX|xX?|0.1y解:要使 M时,总有 ,故 .21x21Msin|xlim4用 或 语言,写出下列各函数极限的定义:X|(1) ; (2) ;lim()1xflim()xfa(3) ; (4)
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