2018年度黄冈中学自主招生专业考试数学模拟测试检查题一内容答案.doc
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1、|2017 年丰乐书院自主招生考试数学模拟测试题一 一选择题(共10 小题,每小题3 分,共30 分) 1已知实数 x,y,z 适合 x+y=6,z 2 =xy9 ,则 z=( ) A1 B 0 C1 D1 2若关于 x 的一元二次方程 mx 2 2x+1=0 无实数根,则一次函数 y=(m 1)x m 图象不经过( ) A第一象限 B 第二象限 C第三象限 D第四象限 3已知实数 a,b(其中 a0)满足 ,b 2 +b=4 ,则 的值是( ) A B C D 4在斜边 AB 为 5 的 RtABC 中,C=90 ,两条直角边 a、b 是关于 x 的方程 x 2 (m 1 )x+m+4=0
2、的两个实数根,则 m 的值为( ) A 4 B 4 C8 或4 D8 5已知实数 a,b,若 a b , ,则 ab 的最大值是( ) A1 B C2 D 6设关于 x 的方程 ax 2 +(a+2)x+9a=0,有两个不相等的实数根 x 1 、x 2 ,且 x 1 1 x 2 ,那么实数 a 的取值范围是( ) A B C D 7三角形的两边长分别为 3 和 6 ,第三边的长是方程 x 2 7x+12=0 的一个根,则 这个三角形的周长是( ) A9 B 12 C13 D12 或 13 8已知抛物线 y=ax 2 +bx+c 过点 A (1 ,2 ) ,B (2,3)两点,且不经过第一象 限
3、,若 S=a+b c,则 S 的取值范围是( ) AS 3 B S 2 CS 2DS3|9函数 y=2x 2 +4x 5 中,当3x 2 时,则 y 值的取值范围是( ) A 3 y 1B 7y1C7y 11 D7y 11 10如图是二次函数 y=ax 2 +bx+c 过点 A (3,0) ,对称轴为 x=1给出四个结论: b 2 4ac,2a+b=0 ;ab+c=0;5ab其中正确结论是( ) A B C D 二填空题(共8 小题,每小题4 分,共32 分) 11已知 m、n 是方程 x 2 +2 x+1=0 的两根,则代数式 值为 12定义新运算“*” 规则:a*b= ,如 1*2=2,
4、( )* = ,若 x 2 +x 1=0 两根为 x 1 ,x 2 ,则 x 1 *x 2 = 13若 +b 2 +2b+1=0,则 a 2 + |b|= 14a 、b 为实数,且满足 ab+a+b8=0 ,a 2 b+ab 2 15=0,则(ab) 2 = 15关于 x 3 ax 2 2ax+a 2 1=0 只有一个实数根,则 a 的取值范围是 16已知二次函数 f (x )=x 2 2x n 2 n 的图象与 x 轴的交点为(a n ,0) , (b n ,0 ) , 则式子 + + + + + = 17若二次函数 y=x 2 +(a+17 )x+38 a 与反比例函数 y= 的交点是整点
5、(横坐 标和纵坐标都是整数的点) ,则正整数 a 的值是 18函数 y=ax+6 (其中 a,b 是整数)的图象与三条抛物线 y=x 2 +3 ,y=x 2 +6x+7,y=x 2 +4x+5 分别有 2 、l、0 个交点,则(a ,b)= 三解答题(共5 小题,合计58 分。 ) 19已知 m,n 是方程 x 2 +3x+1=0 的两根|(1)求(m+5 ) 的值(2)求 + 的值 (12 分) 20已知 a 2 +b 2 =1, ,求 a+b+ab 的取值范围 (10 分) 21已知 x 1 ,x 2 是一元二次方程(a 6 )x 2 +2ax+a=0 的两个实数根 (1)是否存在实数 a
6、,使x 1 +x 1 x 2 =4+x 2 成立?若存在,求出 a 的值;若不存在, 请你说明理由; (2)求使(x 1 +1) (x 2 +1 )为负整数的实数 a 的整数值 (10 分) 23已知:ABC 的两边 AB、AC 的长是关于 x 的一元二次方程 x 2 (2k+3)|x+k 2 +3k+2=0 的两个实数根,第三边 BC 的长为 5 (1)k 为何值时,ABC 是以 BC 为斜边的直角三角形? (2)k 为何值时,ABC 是等腰三角形?并求ABC 的周长 (12 分) 24已知二次函数 y=ax 2 4ax+a 2 +2 (a0 )图象的顶点 G 在直线 AB 上,其中 A(
7、,0 ) 、B (0,3 ) ,对称轴与 x 轴交于点 E (14 分) (1)求二次函数 y=ax 2 4ax+a 2 +2 的关系式; (2)点 P 在对称轴右侧的抛物线上,且 AP 平分四边形 GAEP 的面积,求点 P 坐标; (3)在 x 轴上方,是否存在整数 m ,使得当 x 时,抛物线 y 随 x 增大而增大?若存在,求出所有满足条件的 m 值;若不存在,请说明理由 |2017 年丰乐书院自主招生考试数学模拟测试题一 参考答案与试题解析一选择题(共10 小题) 1已知实数 x,y,z 适合 x+y=6,z 2 =xy9 ,则 z=( ) A1 B 0 C1 D1 【分析】题目中已
8、知 x+y=6 及 xy=z 2 +9,容易得知 x,y 为根的二次方程 t 2 6t+z 2 +9=0 ,再根据根的判别式即可求解 【解答】解:实数 x、y 、z 满足 x+y=6 ,z 2 =xy 9 即 xy=z 2 +9, 以 x,y 为根的二次方程为 t 2 6t+z 2 +9=0 , 其中=364 (z 2 +9)= 4z 2 0, 所以 z=0 故选 B 【点评】本题主要考查了根与系数的关系及根的判别式的运用,难度适中,关 键要掌握 x 1 ,x 2 是方程 x 2 +px+q=0 的两根时,x 1 +x 2 =p,x 1 x 2 =q 2若关于 x 的一元二次方程 mx 2 2
9、x+1=0 无实数根,则一次函数 y=(m 1)x m 图象不经过( ) A第一象限 B 第二象限 C第三象限 D第四象限 【分析】根据判别式的意义得到 m0 且= (2) 2 4m0,解得 m1,然后 根据一次函数的性质可得到一次函数 y=(m 1 )x m 图象经过第一、三象限,且 与 y 轴的交点在 x 轴下方 【解答】解:根据题意得 m0 且= (2) 2 4m0, 解得 m1 , m1 0 ,m0 ,|一次函数 y=(m 1 )x m 图象经过第一、三、四象限 故选 B 【点评】本题考查了一元二次方程 ax 2 +bx+c=0(a0)的根的判别式 =b 2 4ac:当0 ,方程有两个
10、不相等的实数根;当=0,方程有两个相等的实 数根;当0 ,方程没有实数根也考查了一次函数图象与系数的关系 3已知实数 a,b(其中 a0)满足 ,b 2 +b=4 ,则 的值是( ) A B C D 【分析】先根据 a+ =4 解关于 的一元二次方程即可得出 a,再根据 b 2 +b=4 求出 b,从而得出 的值即可 【解答】解:a+ =4 ,b 2 +b=4 , 解关于 、b 的一元二次方程可得出 = ,b= , a0 , = ,b= , a= , = + , 即 = + 或 = + , = 或 = ; 故选 B 【点评】本题考查了根与系数的关系,无理方程以及代数式求值、用公式法解 一元二次
11、方程,熟练掌握求根公式是解此题的关键|4在斜边 AB 为 5 的 RtABC 中,C=90 ,两条直角边 a、b 是关于 x 的方程 x 2 (m 1 )x+m+4=0 的两个实数根,则 m 的值为( ) A 4 B 4 C8 或4 D8 【分析】根据勾股定理求的 a 2 +b 2 =25,即 a 2 +b 2 =(a+b ) 2 2ab ,然后根据根与 系数的关系求的 a+b=m 1ab=m+4 ;最后由 联立方程组,即可求得 m 的值 【解答】解:斜边 AB 为 5 的 Rt ABC 中,C=90,两条直角边 a、b, a 2 +b 2 =25, 又a 2 +b 2 = (a+b ) 2
12、2ab, (a+b) 2 2ab=25, a、b 是关于 x 的方程 x 2 (m1 )x+m+4=0 的两个实数根, a+b=m 1 , ab=m+4 , 由,解得 m=4 ,或 m=8 ; 当 m=4 时,ab=0, a=0 或 b=0, (不合题意) m=8; 故选 D 【点评】本题综合考查了根与系数的关系、勾股定理的应用解答此题时,需 注意作为三角形的两边 a、b 均不为零这一条件5已知实数 a,b,若 a b , ,则 ab 的最大值是( )|A1 B C2 D 【分析】设 ab=x ,ab=t ,再将 转化成 a b,ab 的形式,从而求出 ab,ab 的值,再确定出 ab 的最大
13、值 【解答】解:设 ab=x ,ab=t , = , =b 2 4ac=88t 0 , t 1 仅当 时,ab=2,ab=1 成立, 故选 A 【点评】本题考查了用换元法解一元二次方程以及根的判别式,是基础知识要 熟练掌握6设关于 x 的方程 ax 2 +(a+2)x+9a=0,有两个不相等的实数根 x 1 、x 2 ,且 x 1 1 x 2 ,那么实数 a 的取值范围是( ) A B C D 【分析】方法 1 、根据一元二次方程的根的判别式,建立关于 a 的不等式,求 出 a 的取值范围又存在 x 1 1x 2 ,即(x 1 1) (x 2 1)0,x 1 x 2 (x 1 +x 2 ) +
14、10 ,利用根与系数的关系,从而最后确定 a 的取值范围 方法 2、由方程有两个实数根即可得出此方程是一元二次方程,而 x 1 1 x 2 , 可以看成是二次函数 y=ax 2 +(a+2 )x+9a 的图象与 x 轴的两个交点在 1 左右两侧, 由此得出自变量 x=1 时,对应的函数值的符号,即可得出结论 【解答】解:方法 1 、方程有两个不相等的实数根, 则0 , (a+2) 2 4a9a= 35a 2 +4a+40 ,|解得 a , x 1 +x 2 = ,x 1 x 2 =9, 又x 1 1x 2 , x 1 10,x 2 1 0, 那么(x 1 1 ) (x 2 1 )0, x 1
15、x 2 (x 1 +x 2 )+1 0 , 即 9+ +1 0, 解得 a0, 最后 a 的取值范围为: a0 故选 D 方法 2、由题意知,a 0 ,令 y=ax 2 +(a+2)x+9a , 由于方程的两根一个大于 1,一个小于 1, 抛物线与 x 轴的交点分别在 1 两侧, 当 a0 时,x=1 时,y0 , a+(a+2 )+9a 0, a (不符合题意,舍去) , 当 a0 时,x=1 时,y0 , a+(a+2 )+9a 0, a , a 0, 故选 D 【点评】总结:1 、一元二次方程根的情况与判别式的关系: (1)0方程有两个不相等的实数根; (2)=0 方程有两个相等的实数根
16、;|(3)0方程没有实数根 2、根与系数的关系为:x 1 +x 2 = ,x 1 x 2 = 7三角形的两边长分别为 3 和 6 ,第三边的长是方程 x 2 7x+12=0 的一个根,则 这个三角形的周长是( ) A9 B 12 C13 D12 或 13 【分析】易得方程的两根,那么根据三角形的三边关系,得到合题意的边,进 而求得三角形周长即可 【解答】解:解方程 x 2 7x+12=0 得第三边的边长为 3 或 4 3第三边的边长9, 第三边的边长为 4 , 这个三角形的周长是 3+6+4=13 故选 C 【点评】已知三角形的两边,则第三边的范围是:大于已知的两边的差,而小 于两边的和8已知
17、抛物线 y=ax 2 +bx+c 过点 A (1 ,2 ) ,B (2,3)两点,且不经过第一象 限,若 S=a+b c,则 S 的取值范围是( ) AS 3 B S 2 CS 2DS3 【分析】将 A、B 两点的坐标代入得出关于 a 、b、c 的方程组,将 a 看做常数解 次方程组得 ,将其代入得 S=a+bc=2a2,结合二次函数的图象与性质知 a0 、c=2a+1 0,据此得出 a 的范围,继而可得 S 的范围,即可得出答案 【解答】解:由题意,得: , 解得: , 则 S=a+bc=a+(3a 1 ) (2a+1)=2a 2 , 由抛物线过点 A(1 ,2) ,B(2,3 )两点,且不
18、经过第一象限知 a 0,|c=2a+10 , 解得 a , S=2a23, 故选:A 【点评】本题主要考查二次函数图象与系数的关系,熟练掌握二次函数的图形 与性质是解题的关键9函数 y=2x 2 +4x 5 中,当3x 2 时,则 y 值的取值范围是( ) A 3 y 1B 7y1C7y 11 D7y 11 【分析】根据 a0,抛物线在对称轴的左侧,y 随 x 的增大而减小;抛物线在 对称轴的右侧,y 随 x 的增大而增大,可得答案 【解答】解:y=2x 2 +4x 5 的对称轴是 x=1, 当 x=1 时,y 最小 = 7 , 当 x=3 时,y=2(3) 2 +4(3)5=1, 当 x=2
19、 时,y=22 2 +245=11, 当3 x2 时,则 y 值的取值范围是7y 11 故选:D 【点评】本题考查了二次函数的性质,利用了函数的增减性:a0,对称轴的 左侧,y 随 x 的增大而减小,对称轴的右侧,y 随 x 的增大而增大10如图是二次函数 y=ax 2 +bx+c 过点 A (3,0) ,对称轴为 x=1给出四个结论: b 2 4ac,2a+b=0 ;ab+c=0;5ab其中正确结论是( )|A B C D 【分析】正确根据抛物线与 x 轴有两个交点即可判定 错误根据对称轴 x= 1 即可判定 错误根据 x= 1 时,y 0 即可判定 正确由 b=2a ,a 0,即可判定 5
20、a2a 由此即可解决问题 【解答】解:抛物线与 x 轴有两个交点, 0 ,即 b 2 4ac 0, b 2 4ac,故正确 对称轴 x=1, =1 , b=2a, 2ab=0,故错误, x=1 时,y 0 , ab+c 0,故错误, b=2a,a O, 5a2a ,即 5a b ,故正确, 故选 B|【点评】本题考查二次函数的图象与系数的关系、解题的关键是熟练掌握基本 知识,读懂图象信息,充分利用图象信息解决问题,属于中考常考题型二填空题(共8 小题) 11已知 m、n 是方程 x 2 +2 x+1=0 的两根,则代数式 值为 3 【分析】根据一元二次方程 ax 2 +bx+c=0(a 0)的
21、根与系数的关系得到 m+n=2 ,mn=1 ,再变形 得 ,然后把 m+n=2 ,mn=1 整 体代入计算即可 【解答】解:m、n 是方程 x 2 +2 x+1=0 的两根, m+n=2 ,mn=1 , = = =3 故答案为:3 【点评】本题考查了一元二次方程 ax 2 +bx+c=0(a0)的根与系数的关系:若 方程两根分别为 x 1 ,x 2 ,则 x 1 +x 2 = ,x 1 x 2 = 也考查了二次根式的化简求 值12定义新运算“*” 规则:a*b= ,如 1*2=2, ( )* = ,若 x 2 +x1=0 两根为 x 1 ,x 2 ,则 x 1 *x 2 = 【分析】根据公式法
22、求得一元二次方程的两个根,然后根据新运算规则计算 x 1 *x 2 的值则可|【解答】解:在 x 2 +x1=0 中, a=1,b=1,c=1, b 2 4ac=50 , 所以 x 1 = ,x 2 = 或 x 1 = ,x 2 = , x 1 *x 2 = * = , 故答案为 【点评】本题考查了运用公式法解一元二次方程,注意定义运算规则里的两种 情况13若 +b 2 +2b+1=0,则 a 2 + |b|= 1 【分析】首先利用完全平方公式变形得出 +(b+1) 2 =0 ,利用非负数的 性质得出 a=1 ,b=1,进一步代入求得答案即可 【解答】解: +b 2 +2b+1=0, +(b+
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