整式分式复习预习资料.doc
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1、.整式乘除与因式分解一、重点难点:重点是整式的乘法运算,因式分解运算难点是乘法公式的灵活运用和分解因式的方法。二、知识要点【知识点一】幂的运算(1)同底数幂的乘法:同底数幂相乘,底数不变,指数相加.即 ( , 都是正整nma数)(2)幂的乘方:幂的乘方:底数不变, 指数相乘.即 ( , 都是正整数)mna)((3)积的乘方:先把积中的每一个因式分别乘方,再把所得的结果相乘.即 ( 是nba(正整数)(4)同底数幂的除法:同底数幂相除,底数不变,指数相减.(这个也可以看做分式的运算)即 ( 0, , 都是正整数,且 )nmanmn 零指数幂:不等于零的数的零次幂等于 1. 即 1( 0).0a推
2、导过程: (这里面注意:a0,因为分母中有 a)1a0-amm负整数指数幂: 不等于零的数的负整数次幂等于这个数的正整数次幂的倒数.即 ( 0, 是正整数).p1p例 1. 计算 aa243)解: =243( 9989 523a点评:在整式运算中同样应遵循有括号先算括号(先小括号,再中括号,后大括号, ) ,然后算乘方、再算乘除、最后算加减的原则.例 2:0. 25 2009420098 1000. 5300解: 0. 252009420098 1000. 5300(0. 254) 2009(2 3) 1000. 53001 2009(20. 5) 30011 3000【知识点二】整式乘法(1
3、) 单项式乘单项式单项式与单项式相乘,把它们的系数、相同字母的幂分别相乘,对于只在一个单项式里含有的字母,则连同它的指数作为积的一个因数.即:3a 2b4c2x3bc6=(32)(b4b)(cc6)a2x3=6a2x3b5c7.(2)单项式乘多项式单项式与多项式相乘,就是根据乘法对加法的分配律,用单项式乘多项式的每一项,再把所得的积相加.即:a(m+n)=am+an(单项式计算部分与上面原理相同)(3)多项式乘多项式多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项,再把所得的积相加.(就是反复多用几次乘法分配律) 。即:(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn。 (单项式计
4、算部分与上面原理相同)例 3.计算:(1) ; (2) (2a 3-3a+5) (3-a 2) ;)3()2()3(2 bacba解:(1) )(2= )()94(323c= cbaba87422 (2)(2a 3-3a+5) (3-a 2)= 2355196a= 223a点评:为防止“漏项” ,应注意将一个多项式的每一项“遍乘”另一个多项式的每一项;要正确确定积中每项的符号;如有同类项,则应合并同类项,得出最简结果;通常情况下,最后结果应按某一字母的降幂排列.【知识点三】:乘法公式(1)平方差公式:两个数的和与这两个数的积,等于这两个数的平方差. 即 .2baba(2)完全平方公式:两数和(
5、或差)的平方,等于它们的平方和,加(或减)它们的积的 2 倍.即: , 2222baba例 4.利用乘法公式计算: nm34解: = =nm23422 2234nm= =2196 916点评:巧妙的将 看作一个整体是解决本题的关键.【知识点四】:整式除法(了解即可,这几年几乎不从这部分里出题).(1) 单项式除以单项式:单项式相除,把系数、同底数幂分别相除后,作为商的因式;对于只在被除式里含有的字母,则连同它的指数一起作为商的一个因式.(2)多项式除以单项式:多项式除以单项式,先把这个多项式的每一项分别除以单项式,再把所得的商相加.【知识点五】因式分解1. 因式分解:把一个多项式化为几个整式的
6、积的形式,叫做把这个多项式因式分解;注意:因式分解与乘法是相反的两个转化. 2因式分解的方法:常用“提取公因式法” 、 “公式法” 、 “分组分解法” 、 “十字相乘法”.(前三个较常考,第四个较难理解,而且大纲里不作要求,近几年不常考,但是用好了会简化许多计算)一、提公因式法. am+an=a(m+n)二、运用公式法. a2-b2=(a+b)(a-b);a 22ab+b2=(ab)2;三、分组分解法. 把需要分解的式子改变顺序,对其中某部分提公因式或运用公式,然后再进行下一步的因式分解(一)分组后能直接提公因式例 5、分解因式: bnm分析:从“整体”看,这个多项式的各项既没有公因式可提,也
7、不能运用公式分解,但从“局部”看,这个多项式前两项都含有 a,后两项都含有 b,因此可以考虑将前两项分为一组,后两项分为一组先分解,然后再考虑两组之间的联系。解:原式= )()(na= 每组之间还有公因式! b= m【注】分组的选择是不唯一的,这道题还可以选择其他的分组方式,试试看。(二)分组后能直接运用公式例 6、分解因式: ayx2分析:若将第一、三项分为一组,第二、四项分为一组,虽然可以提公因式,但提完后就不能继续分解,所以只能另外分组。解:原式= )()(2yx= yxa= 例 7、分解因式: 22cb解:原式= 2)(a= cb= (四、十字相乘法.(这是因式分解的最精华部分,但是大
8、纲里不做要求,是课本中的思考题部分,所以了解即可,但是如果学会了,解题会快很多)(一)二次项系数为 1 的二次三项式直接利用公式 进行分解。)()(2 qxpqxpx特点:(1)二次项系数是 1;(2)常数项是两个数的乘积;(3)一次项系数是常数项的两因数的和。例 8、分解因式: 652x分析:将 6 分成两个数相乘,且这两个数的和要等于 5。由于 6=23=(-2)(-3)=16=(-1)(-6),从中可以发现只有 23 的分解适合,即 2+3=5。 .1 2解: = 1 3 652x32)(2x=例 6、分解因式: 72解:原式= 1 -1 )6()(1xx= 1 -6 6)((-1)+(
9、-6 ) = -7(二)二次项系数不为 1 的二次三项式 cbxa2条件:(1) 2a11(2) c22(3) 11b分解结果: =x2 )(2cxa例 7、分解因式: 032分析: 1 -23 -5 (-6)+(-5)= -11解: =2x)5(x(三)二次项系数为 1 的齐次多项式例 8、分解因式: 2218ba分析:将 看成常数,把原多项式看成关于 的二次三项式,利用十字相乘法进行分解。b1 8b1 -16b 8b+(-16b)= -8b解: =228ba )16(8)16(bab= )((四)二次项系数不为 1 的齐次多项式例 9、 例 10、2267yx 232xy1 -2y 把 看
10、作一个整体 1 -1 xy2 -3y 1 -2 (-3y)+(-4y)= -7y (-1)+(-2)= -3 解:原式= 解:原式=)3)( )(【典型题】例 1. 设 m2m20,求 m33m 22000 的值分析:由 m2m20 无法求 m,所以要把 m33m 22000 及 m2m20 变形解:由 m2m20,得 m22m,m 2m2,原式m 2m3m 22000(2m)m3m 220002mm 23m 220002(m 2m)20002220002004 评析:要多探索方法,寻求新颖简捷的方法例 2. 化简求值:5(mn) (mn)2(mn) 23(mn) 2,其中 m2,n 15分析
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