数学物理方程第一章内容答案.doc
《数学物理方程第一章内容答案.doc》由会员分享,可在线阅读,更多相关《数学物理方程第一章内容答案.doc(7页珍藏版)》请在得力文库 - 分享文档赚钱的网站上搜索。
1、.第一章1 方程的导出。定解条件1细杆(或弹簧)受某种外界原因而产生纵向振动,以 u(x,t)表示静止时在 x 点处的点在时刻 t 离开原来位置的偏移,假设振动过程发生的张力服从虎克定律,试证明 满足方程),(txuEtxt其中 为杆的密度, 为杨氏模量。E证:在杆上任取一段,其中两端于静止时的坐标分别为 与x。现在计算这段杆在时刻 的相对伸长。在时刻 这段杆xtt两端的坐标分别为: ),();,(tuxtux其相对伸长等于 ),(,( txttux x 令 ,取极限得在点 的相对伸长为 。由虎克0xxu),(t定律,张力 等于),(txT),(),(txEt其中 是在点 的杨氏模量。)(xE
2、设杆的横截面面积为 则作用在杆段 两端),(xS),(x的力分别为 xuS)( xut)()(;,).,(t于是得运动方程 tsxxESuxEx|)(|)(利用微分中值定理,消去 ,再令 得0tus)(xxES()若 常量,则得)(xs=2)(tux)(xuE即得所证。2在杆纵向振动时,假设(1)端点固定,(2)端点自由, (3)端点固定在弹性支承上,试分别导出这三种情况下所对应的边界条件。解:(1)杆的两端被固定在 两点则相应的边界条lx,0件为.),(),0(tlut(2)若 为自由端,则杆在 的张力lxlx| 等于零,因此相应的边界条件为 |EtlT)(,l xu=0 l同理,若 为自由
3、端,则相应的边界条件为 0x x0x(3)若 端固定在弹性支承上,而弹性支承固定于某l点,且该点离开原来位置的偏移由函数 给出,则在 端)(tvlx支承的伸长为 。由虎克定律有)(,tvluxuE)(,tvlkl其中 为支承的刚度系数。由此得边界条件k 其中)()(tflx特别地,若支承固定于一定点上,则 得边界条件,0)(tv 。(uxlx同理,若 端固定在弹性支承上,则得边界条件0xE)(,0tvkx即 )(u.f3. 试证:圆锥形枢轴的纵振动方程为 .22)1()1(tuhxuhxE其中 为圆锥的高(如图 1)证:如图,不妨设枢轴底面的半径为 1,则 x点处截面的半径 为:lhx1所以截
4、面积 。利用第 1 题,得2)()xs)1()1( 22xuhExtuhx若 为常量,则得E 22)1()1(tuhxuhx4. 绝对柔软逐条而均匀的弦线有一端固定,在它本身重力作用下,此线处于铅垂平衡位置,试导出此线的微小横振动方程。解:如图 2,设弦长为 ,弦的线密度为 ,则 点处的张lx力 为)(xT)()xlgT且 的方向总是沿着弦在 点处的切线方向。仍以 表)(x ),(txu示弦上各点在时刻 沿垂直于 轴方向的位移,取弦段t则弦段两端张力在 轴方向的投影分别为),(u)(sin)();(sin( xxlgxlg 其中 表示 方向与 轴的夹角)(x)(T又 .sinxutg于是得运动
5、方程ltx)(2xulgxg利用微分中值定理,消去 ,再令 得0x。)(2ult5. 验证 在锥221),(yxtyx0 中都满足波动方程22yxt证:函数22ut在锥 0 内对变量221),(yxtyx2yxt有t,二阶连续偏导数。且 tyxtu232)( 252 )()( tttt )2()( 232yxtyxttu)(252232 xyxtyxt 2252yxtyxt同理 yu所以 .22522 tuyxtxtyxu .即得所证。6. 在单性杆纵振动时,若考虑摩阻的影响,并设摩阻力密度涵数( 即单位质量所受的摩阻力)与杆件在该点的速度大小成正比(比例系数设为 b), 但方向相反,试导出这
6、时位移函数所满足的微分方程.解: 利用第 1 题的推导,由题意知此时尚须考虑杆段上所受的摩阻力.由题设,单位质量所受摩阻力为x,故 上所受摩阻力为tubtuxspb运动方程为: tuxsbxuEStEStsxx2利用微分中值定理,消去 ,再令 得0 .2 tuxsbxuEStuxs 若 常数,则得)(xstuxbExtu2若 则 得 方 程令也 是 常 量是 常 量 ,., 2aEx .22xuatbtu3 混合问题的分离变量法1. 用分离变量法求下列问题的解:(1) 0),(,0 )0()13sin22tlt lxxuuxatott解:边界条件齐次的且是第一类的,令 )(),(tTX得固有函
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 数学 物理 方程 第一章 内容 答案
限制150内