恒成立能成立问题总结分析(详细).doc
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1、.恒成立问题的类型和能成立问题及方法处理函数与不等式的恒成立、能成立、恰成立问题是高中数学中的一个重点、难点问题。这类问题在各类考试以及高考中都屡见不鲜。感觉题型变化无常,没有一个固定的思想方法去处理,一直困扰着学生,感到不知如何下手。在此为了更好的准确地把握快速解决这类问题,本文通过举例说明这类问题的一些常规处理。1、函数法(1)构造一次函数 利用一次函数的图象或单调性来解决对于一次函数 有:,),0()(nmxkbxf0)(0)( ;0)()(nfxf ffff恒 成 立 或恒 成 立例 1 若不等式 对满足 的所有 都成立,求 的范 围。mx212mx解析:将不等式化为: ,0)1()(
2、2x构造一次型函数: )()()2mg原命题等价于对满足 的 ,使 恒成立。0)(g由函数图象是一条线段,知应 0)12()(0)2(2x.解得 ,所以 的范围是 。23127xx)231,7(小结:解题的关键是将看来是解关于 的不等式问题转化为以 为变量, 为参数mx的一次函数恒成立问题,再利用一次函数的图象或单调性解题。练习:(1)若不等式 对 恒成立,求实数 的取值范围。01ax2,a(2)对于 的一切实数,不等式 恒成立,求4p 342px的取值范围。(答案: 或 )x(二)构造二次函数 利用二次函数的图像与性质及二次方程根的分布来解决。对于二次函数 有:)0()(2acbxaxf(1
3、) 上恒成立 ;Rf在0)( 且(2) 上恒成立xf在)( 0且a(3)当 时,若 上恒成立0a,0)(在f0)(20)(2fabfb或或若 上恒成立,)(在xf )(f(4)当 时,若 上恒成立0a,0)(在xf 0)(f.若 上恒成立,0)(在xf 0)(20)(2fabfab或或例 2 若关于 的二次不等式: 的解集为 ,求 的取值范围.x 12xaR解:由题意知,要使原不等式的解集为 ,即对一切实数 原不等式都成立。Rx只须 0a0)1(4)(2a0123a. 的取值范围是31a或 3,说明:1、本题若无“二次不等式”的条件,还应考虑 的情况,但对本题讲0a时式子不恒成立。2、只有定义
4、在 R 上的恒二次不等式才能实施判别式法;否则,0a易造成失解。练习:1、 已知函数 的定义域为 ,求实数 的取值范围。 862mxyRm(答案 )10m2、已知函数 在 时 恒成立,求实数 的2)(2kxf ),1(kxf(k取值范围。(答案 )提示:构造一个新函数 是解题的13 fF)(关键,再利用二次函数的图象性质进行分类讨论,使问题得到圆满解决。(三) 、利用函数的最值-分离参数法或值域法若在等式或不等式中出现两个变量,其中一个变量的范围已知,另一个变量的范围为所求,且容易通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边即分离参变量,则可将恒成立问题转化成函数的最值问题求解。注意参数的
5、端点值能否取到需检验。类型一 : “ ”型)(xfa.一、 (恒成立)(1) 恒成立 ;mxfD)(, mxfin)((2) 恒成立 ;f)(, ax)(f二、 (能成立、有解):(1) 能成立 ;mxfD)(, 内 有 解在 Dxf)(mxfa)((2) 能成立 ;f)(, 内 有 解在f)(in)(f三、 (恰成立)(1)不等式 在区间 上恰成立 不等式 的解集为 ;AxfDAxfD(2)不等式 在区间 上恰成立 不等式 的解集为 .BB四、 (方程有解)方程 在某个区间上有解,只需求出 在区间上的值域 A 使 。()mfx()fxm例 3:设 其中 ,如果 时, 恒有意义,求124lg,
6、3xafR.1()fx的取值范围。a解:如果 时, 恒有意义 对(.)x()fx 042xa不 等 式恒 (,1)x成立 , 恒成立。22()4xxa(.1)令 , ,又 ,则xt2()gtt.,)2t对 恒成立,又 在 上为减函数,a1,()g.,max13()()24tga例 4:若关于 的不等式 的解集不是空集,则实数 的取值范围。3xa解: 设 .则关于 的不等式 的解集不是空集f)( 32x在 R 上能成立 ,3)(xf )(minf即 ,解得342minaf 26a或例 5 不等式 有解,求 的取值范围。02kxk解:不等式 有解 能成立 能成立2)1(x12xk, 所以 。2)1
7、(max2k,k例 6(2008 年上海)已知函数 f(x)2 x 若不等式 2t f(2t)+m f(t)0 对于 t1,212|x|恒成立,求实数 m 的取值范围解:本题可通过变量分离来解决当 时,1,2t21()()02t ttt即 , ,4()ttt 2(1)tm,,t 2(1)7,5t故 的取值范围是m,例 7(1990 年全国)设 ,其中 a 为实数,nfxnxxx()lg()231为任意给定的自然数,且 ,如果 当 时有意义,求 a 的取值范围nfx()(,解:本题即为对于 ,有 恒成立x(, 1210xxn )这里有三种元素交织在一起,结构复杂,难以下手,若考虑到求 a 的范围
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