(新课标)高考~数学一轮复习预习名校尖子生培优大专栏圆锥曲线训练5新人教A版.doc
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1、.名校专题-圆锥曲线培优训练 51、设椭圆 E: (a,b0)过 M(2, ) ,N( ,1)两点,O 为坐标原点21xyab6()求椭圆 E的方程;()是否存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆 E恒有两个交点 A,B,且 ?若存在,写出该圆的方程,并求|AB |的取值范围,若不存在说明理由。OAB解:(1)因为椭圆 E: (a,b0)过 M(2, ) ,N( ,1)两点,21xyab6所以 解得 所以 椭圆 E的方程为 4分2416ab2842ab2184xy(2)假设存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆 E恒有两个交点 A,B,且 ,设该OAB圆的切线方程为 解方程
2、组 得 ,ykxm2184xykm22()8xk即 ,22(1)40k则= ,即26(1)()0kkm240km1228xmk22221212112(8)48()()11kmkmkyxxkmx()要使 ,需使 ,即 ,所以 ,OAB120y280230所以 又 , 238mk24k所以 ,所以 ,即 或 ,2236m263因为直线 为圆心在原点的圆的一条切线,ykx.所以圆的半径为 , , ,21mrk22831mrk263r所求的圆为 ,此时圆的切线 都满足 或 ,283xyykx而当切线的斜率不存在时切线为 与椭圆 的两个交点为 或2632184y26(,)3满足 ,26(,)3OAB综上
3、, 存在圆心在原点的圆 ,使得该圆的任意一条切线与椭圆 E恒有两个交点 A,B,且283xyOAB因为 ,12248kmx所以 ,2222211148(4)()()()11kmkmxx 22222111()|()()AByxk, 8分4224353kk当 时 ,因为 所以 ,0k21|ABk214k21084k所以 ,所以 当且仅当 时取“=” 232114k6|233AB2k 时, 0k6|3AB.当 AB的斜率不存在时, 两个交点为 或 ,26(,)326(,)3所以此时 , 12分46|3AB综上, |AB |的取值范围为 即: 14分|23AB4|6,23AB2、如图,已知椭圆的中心在
4、原点,焦点在 轴上,长轴长是短轴长的 2倍且经过点 M(2,1),平行于 OM的x直线 l在 轴上的截距为 ,l 交椭圆于 A、B 两个不同点y(0)m(1)求椭圆的方程; (2)求 m的取值范围;(3)求证直线 MA、MB 与 轴始终围成一个等腰三角形 x解:(1)设椭圆方程为 则 2分)0(12bay 81422baa解 得椭圆方程 4分82x(2)直线 l平行于 OM,且在 轴上的截距为 m,又 y21OMKl 的方程为:mxy21由 6分0421282xyx直线 l与椭圆交于 A、B 两个不同点, ,0)42()(mm 的取值范围是 02|m且(3)设直线 MA、MB 的斜率分别为 k
5、1,k2,只需证明 k1k2=0 即可设 21,),(),( 2121 xykxykyxBA则可得 8分042mx由 4,212m而 )()(,12111221 xyyxyk.)2()1(442)(2)2(1()12(1112xmmxxx10分0)(212 k1k2=0故直线 MA、MB 与 x轴始终围成一个等腰三角形 12 分3已知椭圆 : ( )过点 ,其左、右焦点分别为 ,且E21yab0(3, 1)P12, F126FP(1)求椭圆 的方程;(2)若 是直线 上的两个动点,且 ,则以 为直径的圆 是否过定点?请说明理,MN5x12FMNC由解:(1)设点 的坐标分别为 ,12,F(,0
6、)()c则 (3,)(3,)Pc故 ,可得 , 2分212106c4c所以 ,4 分212|(34)(3)16aF故 ,23,8162bc所以椭圆 的方程为 6 分E2xy(2)设 的坐标分别为 ,则 ,,MN(5,)mn12(9,)(1,)FMmNn又 ,可得 ,即 , 8 分12F1290FNn又圆 的圆心为 半径为 ,C(5,),n|故圆 的方程为 ,222|()()mxy.即 ,2(5)()0xymny也就是 , 11 分29令 ,可得 或 2,0y8x故圆 必过定点 和 13 分C(,0),(另法:(1)中也可以直接将点 坐标代入椭圆方程来进行求解;(2)中可利用圆 C直径的两端点直
7、接P写出圆 的方程)4、已知点 是直角坐标平面内的动点,点 到直线 的距离为 ,到点 的距离为 ,P12lx: 1d(0)F, 2d且 21d(1)求动点 P所在曲线 C的方程;(2)直线 过点 F且与曲线 C交于不同两点 A、B(点 A或 B 不在 x轴上),分别过 A、B 点作直线l的垂线,对应的垂足分别为 ,试判断点 F与以线段 为直径的圆的位置关系(指在圆内、1:2lxMN、 MN圆上、圆外等情况);(3)记 , , (A、B、 是(2)中的点),问是否存在实数 ,使1FAMS2FNS3F、 成立若存在,求出 的值;若不存在,请说明理由23进一步思考问题:若上述问题中直线 、点 、曲线
8、 C:21:alxc(0),则使等式 成立的 的值仍保持不变请给出你的判断 2 21(0)xyabcab, 213S(填写“不正确”或“正确”)(限于时间,这里不需要举反例,或证明)解 (1) 设动点为 ,依据题意,有 ,化简得 3 分()Pxy,2()|xy21xy因此,动点 P所在曲线 C的方程是: 4 分21y(2) 点 F在以 MN为直径的圆的外部理由:由题意可知,当过点 F的直线 的斜率为 0时,不合题意,故可设直线 :l l,如图所示 5 分1xmy联立方程组 ,可化为 ,2xy2()10my.则点 的坐标满足 7 分12()()AxyB, 、 ,12my又 、 ,可得点 、 Ml
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