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1、.2018 年上海市青浦区高考数学一模试卷一.填空题(本大题满分 54 分)本大题共有 12 题, 1-6 每题 4 分,7-12 每题 5分考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对得分,否则一律得零分.1 (4 分)设全集 U=Z,集合 M=1,2,P= 2, 1,0,1,2,则 PC UM 2 (4 分)已知复数 (i 为虚数单位) ,则 = 3 (4 分)不等式 2 ( ) 3(x 1) 的解集为 4 (4 分)函数 f(x )= sinxcosx+cos2x 的最大值为 5 (4 分)在平面直角坐标系 xOy 中,以直线 y=2x 为渐近线,且经过椭圆x2+ =1 右顶
2、点的双曲线的方程是 6 (4 分)将圆锥的侧面展开后得到一个半径为 2 的半圆,则此圆锥的体积为 7 (5 分)设等差数列a n的公差 d 不为 0,a 1=9d若 ak 是 a1 与 a2k 的等比中项,则 k= 8 (5 分)已知(1+2x) 6 展开式的二项式系数的最大值为 a,系数的最大值为b,则 = 9 (5 分)同时掷两枚质地均匀的骰子,则两个点数之积不小于 4 的概率为 10 (5 分)已知函数 f( x)= 有三个不同的零点,则实数 a的取值范围是 11 (5 分)已知 Sn 为数列a n的前 n 项和,a 1=a2=1,平面内三个不共线的向量, , ,满足 =( an1+an
3、+1) +(1a n) ,n2,n N*,若 A,B ,C在同一直线上,则 S2018= .12 (5 分)已知函数 f( x)=m (x m) (x +m+2)和 g(x )=3 x3 同时满足以下两个条件:对任意实数 x 都有 f(x)0 或 g(x)0;总存在 x0(,2) ,使 f(x 0)g(x 0)0 成立则 m 的取值范围是 二.选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得 5 分,否则一律得零分.13 (5 分) “ab” 是“ ( ) 2ab”成立的( )A充分而不必要条件 B必要而不充
4、分条件C充要条件 D既不充分又不必要条件14 (5 分)已知函数 f( x)=2sin( x+ ) ,若对任意实数 x,都有 f(x 1)f( x)f( x2) ,则|x 2x1|的最小值是( )A B2 C2 D415 (5 分)已知 和 是互相垂直的单位向量,向量 满足: ,nN *,设 n 为 和 的夹角,则( )A n 随着 n 的增大而增大B n 随着 n 的增大而减小C随着 n 的增大, n 先增大后减小D随着 n 的增大, n 先减小后增大16 (5 分)在平面直角坐标系 xOy 中,已知两圆 C1:x 2+y2=12 和C2:x 2+y2=14,又点 A 坐标为(3,1) ,M
5、 、N 是 C1 上的动点,Q 为 C2 上的动点,则四边形 AMQN 能构成矩形的个数为( )A0 个 B2 个 C4 个 D无数个三解答题(本大题满分 76 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须在答题纸.相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17 (14 分)如图,在四棱锥 PABCD 中,底面 ABCD 是矩形,PA 平面ABCD,PA=AD=2AB=2 ,E 是 PB 的中点(1)求三棱锥 PABC 的体积;(2)求异面直线 EC 和 AD 所成的角(结果用反三角函数值表示) 18 (14 分)已知抛物线 C:y 2=2px 过点 P(1 ,1) 过点(0, )作直线 l 与抛物线
6、C 交于不同的两点 M,N,过点 M 作 x 轴的垂线分别与直线 OP、ON 交于点 A,B,其中 O 为原点(1)求抛物线 C 的方程,并求其焦点坐标和准线方程;(2)求证:A 为线段 BM 的中点19 (14 分)如图,某大型厂区有三个值班室 A、B、C值班室 A 在值班室 B的正北方向 2 千米处,值班室 C 在值班室 B 的正东方向 2 千米处(1)保安甲沿 CA 从值班室出发行至点 P 处,此时 PC=1,求 PB 的距离;(2)保安甲沿 CA 从值班室 C 出发前往值班室 A,保安乙沿 AB 从值班室 A 出发前往值班室 B,甲乙同时出发,甲的速度为 1 千米/ 小时,乙的速度为
7、2 千米/小时,若甲乙两人通过对讲机联系,对讲机在厂区内的最大通话距离为 3 千米(含 3 千米) ,试问有多长时间两人不能通话?20 (16 分)设集合 A,B 均为实数集 R 的子集,记 A+B=a+b|aA,b B(1)已知 A=0,1,2,B= 1,3,试用列举法表示 A+B;.(2)设 a1= ,当 nN*且 n2 时,曲线 + = 的焦距为 an,如果A=a1,a 2, ,a n,B= , , ,设 A+B 中的所有元素之和为 Sn,求 Sn的值;(3)在(2)的条件下,对于满足 m+n=3k,且 mn 的任意正整数 m,n,k,不等式 Sm+SnSk0 恒成立,求实数 的最大值2
8、1 (18 分)对于定义在0,+)上的函数 f(x ) ,若函数 y=f(x ) (ax+b)满足:在区间0,+)上单调递减,存在常数 p,使其值域为(0,p,则称函数 g( x)=ax+b 是函数 f( x)的“逼进函数” (1)判断函数 g(x)=2x+5 是不是函数 f(x )= ,x0,+)的“逼进函数”;(2)求证:函数 g(x)= x 不是函数 f(x)= ( ) x,x0,+)的“逼进函数”(3)若 g(x)=ax 是函数 f(x )=x + ,x 0,+)的“逼进函数”,求 a的值.2018 年上海市青浦区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一.填空题(本大题满分 54 分)本大
9、题共有 12 题, 1-6 每题 4 分,7-12 每题 5分考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对得分,否则一律得零分.1 (4 分)设全集 U=Z,集合 M=1,2,P= 2, 1,0,1,2,则 PC UM 2, 1,0 【解答】解:C UM=2,1,0,故 PC UM=2,1,0故答案为:2,1,02 (4 分)已知复数 (i 为虚数单位) ,则 = 【解答】解:复数 = = , = , = = = ,故答案为 3 (4 分)不等式 2 ( ) 3(x 1) 的解集为 (, 2)(3,+) 【解答】解:不等式 2 ( ) 3(x 1) 化为2 2 33x,即 x24x
10、333x,x 2x60,.解得 x2 或 x3,原不等式的解集为( , 2)(3,+) 故答案为:(,2)(3,+) 4 (4 分)函数 f(x )= sinxcosx+cos2x 的最大值为 【解答】解:函数 f(x) = sinxcosx+cos2x= sin2x+ cos2x+=sin(2x+ )+ ,当 2x+ =2k+ ,k Z,即 x=k+ ,kZ,函数取得最大值 1+ = ,故答案为: 5 (4 分)在平面直角坐标系 xOy 中,以直线 y=2x 为渐近线,且经过椭圆x2+ =1 右顶点的双曲线的方程是 x 2 =1 【解答】解:设以直线 y=2x 为渐近线的双曲线的方程为 x2
11、 =(0) ,双曲线椭圆 x2+ =1 右顶点(1,0) ,1=,双曲线方程为:x 2 =1故答案为:x 2 =16 (4 分)将圆锥的侧面展开后得到一个半径为 2 的半圆,则此圆锥的体积为 .【解答】解:设圆锥的底面半径为 r,则 2r=2,r=1圆锥的高 h= 圆锥的体积 V= = 故答案为: 7 (5 分)设等差数列a n的公差 d 不为 0,a 1=9d若 ak 是 a1 与 a2k 的等比中项,则 k= 4 【解答】解:因为 ak 是 a1 与 a2k 的等比中项,则 ak2=a1a2k,9d+(k1)d 2=9d9d+(2k 1)d,又 d0,则 k22k8=0,k=4 或 k=2
12、(舍去) 故答案为:48 (5 分)已知(1+2x) 6 展开式的二项式系数的最大值为 a,系数的最大值为b,则 = 12 【解答】解:由题意可得 a= =20,再根据 ,.解得 ,即 r ,r=4,此时 b= 24=240; = =12故答案为:129 (5 分)同时掷两枚质地均匀的骰子,则两个点数之积不小于 4 的概率为 【解答】解:同时掷两枚质地均匀的骰子,基本事件总数 n=66=36,两个点数之积小于 4 包含的基本事件(a,b)有:(1,1) , (1,2) , (2,1) , (1,3) , (3,1) ,共 5 个,两个点数之积不小于 4 的概率为 p=1 = 故答案为: 10
13、(5 分)已知函数 f( x)= 有三个不同的零点,则实数 a的取值范围是 1,+) 【解答】解:由题意可知:函数图象的左半部分为单调递增对数函数的部分,函数图象的右半部分为开口向上的抛物线,对称轴为 x= ,最多两个零点,.如上图,要满足题意,必须指数函数的部分向下平移到与 x 轴相交,由对数函数过点(1,0) ,故需左移至少 1 个单位,故 a1,还需保证抛物线与 x 轴由两个交点,故最低点 0,解得 a0 或 a ,综合可得:a1,故答案为:1,+) 11 (5 分)已知 Sn 为数列a n的前 n 项和,a 1=a2=1,平面内三个不共线的向量, , ,满足 =( an1+an+1)
14、+(1a n) ,n2,n N*,若 A,B ,C在同一直线上,则 S2018= 2 【解答】解:若 A,B,C 三点共线,则 =x +(1x) ,根据条件“平面内三个不共线的向量 , , ,满足 =(a n1+an+1) +(1a n) ,n2 ,n N*,A,B,C 在同一直线上, ”得出 an1+an+1+1an=1,a n1+an+1=an,S n 为数列 an的前 n 项和, a1=a2=1,数列a n为: 1,1,0, 1,1,0,1,1,0, 1,1,0,即数列a n是以 6 为周期的周期数列,前 6 项为 1,1,0,1,1,0,2018=6336+2 ,S 2018=336(
15、1+1+0 11+0)+1+1=2.故答案为:212 (5 分)已知函数 f( x)=m (x m) (x +m+2)和 g(x )=3 x3 同时满足以下两个条件:对任意实数 x 都有 f(x)0 或 g(x)0;总存在 x0(,2) ,使 f(x 0)g(x 0)0 成立则 m 的取值范围是 (3 ,2) 【解答】解:对于g( x)=3 x3,当 x1 时, g(x)0,又xR,f (x)0 或 g(x )0f( x)=m( xm) (x+m+2 )0 在 x1 时恒成立则由二次函数的性质可知开口只能向下,且二次函数与 x 轴交点都在(1,0)的左面,即 ,可得3m0又x( ,2) ,f(x)g(x)0此时 g(x )=3 x30 恒成立f( x)=m( xm) (x+m+2 )0 在 x(, 2)有成立的可能,则只要2 比 x1,x 2 中的较小的根大即可,(i)当 1m0 时,较小的根为m 2,m 22 不成立,(ii)当 m=1 时,两个根同为1 3,不成立,(iii )当3 m1 时,较小的根为 m,即 m2 成立综上可得成立时3 m2故答案为:(3,2)
限制150内