【强烈推荐】八年级-数学三角形辅助线大全(精简、全面~).doc
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1、|三角形作辅助性方法大全1.在利用三角形的外角大于任何和它不相邻的内角证明角的不等关系时,如果直接证不出来,可连结两点或延长某边,构造三角形,使求证的大角在某个三角形外角的位置上,小角处在内角的位置上,再利用外角定理证题.例:已知 D 为ABC 内任一点,求证:BDCBAC证法(一):延长 BD 交 AC 于 E,BDC 是EDC 的外角,BDCDEC同理:DECBACBDCBAC证法(二):连结 AD,并延长交 BC 于 FBDF 是 ABD 的外角,BDF BAD同理CDF CADBDF CDFBAD CAD即:BDCBAC2.有角平分线时常在角两边截取相等的线段,构造全等三角形.例:已知
2、,如图,AD 为ABC 的中线且1 = 2 ,3 = 4,求证:BECFEF证明:在 DA 上截取 DN = DB,连结 NE、NF,则 DN = DC在BDE 和NDE 中,DN = DB1 = 2ED = EDBDENDEBE = NE同理可证:CF = NF在EFN 中,ENFNEFBECF EF3. 有以线段中点为端点的线段时,常加倍延长此线段构造全等三角形.例:已知,如图,AD 为ABC 的中线,且1 = 2, 3 = 4,求证:BECFEF证明:延长 ED 到 M,使 DM = DE,连结 CM、FMBDE 和CDM 中,BD = CD1 = 5ED = MDBDECDMCM =
3、BEFAB CDEDCBA4321NFED CBA|又1 = 2,3 = 4123 4 = 180 o3 2 = 90 o即EDF = 90 oFDM = EDF = 90oEDF 和MDF 中ED = MDFDM = EDFDF = DFEDFMDFEF = MF在CMF 中,CFCM MFBECF EF(此题也可加倍 FD,证法同上)4. 在三角形中有中线时,常加倍延长中线构造全等三角形.例:已知,如图,AD 为ABC 的中线,求证:ABAC2AD证明:延长 AD 至 E,使 DE = AD,连结 BEAD 为ABC 的中线BD = CD在ACD 和EBD 中BD = CD 1 = 2AD
4、 = EDACDEBDABE 中有 ABBEAEABAC 2AD5.截长补短作辅助线的方法截长法:在较长的线段上截取一条线段等于较短线段;补短法:延长较短线段和较长线段相等.这两种方法统称截长补短法.当已知或求证中涉及到线段 a、b、c、d 有下列情况之一时用此种方法:abab = cab = cd例:已知,如图,在ABC 中,ABAC,1 = 2,P 为 AD 上任一点,求证:ABACPBPC证明:截长法:在 AB 上截取 AN = AC,连结 PN在APN 和 APC 中,AN = AC1 = 2AP = APAPN APCMAB CDE F1 2 3451 2ED CBAP1 2ND C
5、BA|PC = PNBPN 中有 PBPCBNPB PCABAC补短法:延长 AC 至 M,使 AM = AB,连结 PM在ABP 和 AMP 中AB = AM 1 = 2AP = APABP AMPPB = PM又在PCM 中有 CM PM PCABAC PBPC练习:1.已知,在ABC 中,B = 60 o,AD、CE 是ABC 的角平分线,并且它们交于点 O求证:AC = AECD2.已知,如图,ABCD1 = 2 ,3 = 4. 求证:BC = ABCD 6.证明两条线段相等的步骤:观察要证线段在哪两个可能全等的三角形中,然后证这两个三角形全等。若图中没有全等三角形,可以把求证线段用和
6、它相等的线段代换,再证它们所在的三角形全等.如果没有相等的线段代换,可设法作辅助线构造全等三角形.例:如图,已知,BE、CD 相交于 F,B = C,1 = 2,求证:DF = EF证明:ADF = B3 AEF = C 4又3 = 4B = CADF = AEF在ADF 和 AEF 中ADF = AEF1 = 2 AF = AFADF AEFDF = EF7.在一个图形中,有多个垂直关系时,常用同角(等角)的余角相等来证明两个角相等.例:已知,如图 RtABC 中,AB = AC,BAC = 90o,过 A 作任一条直线 AN,作BDAN 于 D,CE AN 于 E,求证:DE = BDCE
7、证明:BAC = 90o, BD AN12 = 90 o 13 = 90 o2 = 3BDAN CEANBDA =AEC = 90 oAB CD21PM43 21FEDCBA4321E DCBA|在ABD 和CAE 中,BDA =AEC2 = 3AB = ACABDCAEBD = AE 且 AD = CEAEAD = BDCEDE = BD CE8.三角形一边的两端点到这边的中线所在的直线的距离相等.例:AD 为ABC 的中线,且 CFAD 于 F,BEAD 的延长线于 E求证:BE = CF证明:(略)9.条件不足时延长已知边构造三角形.例:已知 AC = BD,ADAC 于 A,BCBD
8、于 B求证:AD = BC证明:分别延长 DA、CB 交于点 EADAC BCBDCAE = DBE = 90o在DBE 和CAE 中DBE =CAEBD = ACE = EDBECAEED = EC,EB = EAEDEA = EC EBAD = BC10.连接四边形的对角线,把四边形问题转化成三角形来解决问题.例:已知,如图,ABCD,ADBC求证:AB = CD证明:连结 AC(或 BD)ABCD ,ADBC1 = 2 在ABC 和CDA 中,1 = 2 AC = CA3 = 4 ABCCDA321NEDCBA21D CBAFEOED CBA4321DCBAEFD CBA|AB = CD
9、练习:已知,如图,AB = DC,AD = BC,DE = BF,求证:BE = DF11.有和角平分线垂直的线段时,通常把这条线段延长。可归结为“角分垂等腰归”.例:已知,如图,在 RtABC 中,AB = AC,BAC = 90o,1 = 2 ,CE BD 的延长线于 E求证:BD = 2CE证明:分别延长 BA、CE 交于 FBECFBEF =BEC = 90o在BEF 和BEC 中1 = 2 BE = BEBEF =BECBEFBECCE = FE = CF2BAC = 90 o , BECFBAC = CAF = 90 o 1BDA = 90o1BFC = 90 oBDA = BFC
10、在ABD 和ACF 中BAC = CAFBDA = BFCAB = ACABDACFBD = CFBD = 2CE练习:已知,如图,ACB = 3B,1 =2,CDAD 于 D,求证:ABAC = 2CD12.当证题有困难时,可结合已知条件,把图形中的某两点连接起来构造全等三角形.例:已知,如图,AC、BD 相交于 O,且 AB = DC,AC = BD,求证:A = D证明:(连结 BC,过程略)21EFDCBAOABDC21D CBA|13.当证题缺少线段相等的条件时,可取某条线段中点,为证题提供条件.例:已知,如图,AB = DC,A = D求证:ABC = DCB证明:分别取 AD、B
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