小学奥数—同余问题.doc
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1、|数论之同余问题余数问题是数论知识板块中另一个内容丰富,题目难度较大的知识体系,也是各大杯赛小升初考试必考的奥数知识点,所以学好本讲对于学生来说非常重要。许多孩子都接触过余数的有关问题,并有不少孩子说“遇到余数的问题就基本晕菜了!”余数问题主要包括了带余除法的定义,三大余数定理(加法余数定理,乘法余数定理,和同余定理) ,及中国剩余定理和有关弃九法原理的应用。知识点拨:一、带余除法的定义及性质:一般地,如果 a 是整数,b 是整数(b0),若有 ab=qr,也就是 abqr, 0rb;我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。这里:(1)当 时:我们称 a 可以被 b 整除,q 称为 a 除以
2、b 的商或完全商0r(2)当 时:我们称 a 不可以被 b 整除,q 称为 a 除以 b 的商或不完全商一个完美的带余除法讲解模型:如图,这是一堆书,共有 a 本,这个 a 就可以理解为被除数,现在要求按照 b 本一捆打包,那么 b 就是除数的角色,经过打包后共打包了 c 捆,那么这个 c 就是商,最后还剩余 d 本,这个 d 就是余数。这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中 4 个量的关系。并且可以看出余数一定要比除数小。二、三大余数定理:1.余数的加法定理a 与 b 的和除以 c 的余数,等于 a,b 分别除以 c 的余数之和,或这个和除以 c 的余数。例如:23,16 除以 5 的余数
3、分别是 3 和 1,所以 23+16=39 除以 5 的余数等于 4,即两个余数的和 3+1.当余数的和比除数大时,所求的余数等于余数之和再除以 c 的余数。例如:23,19 除以 5 的余数分别是 3 和 4,故 23+19=42 除以 5 的余数等于 3+4=7 除以 5 的余数,即2.2.余数的乘法定理a 与 b 的乘积除以 c 的余数,等于 a,b 分别除以 c 的余数的积,或者这个积除以 c 所得的余数。例如:23,16 除以 5 的余数分别是 3 和 1,所以 2316 除以 5 的余数等于 31=3。当余数的和比除数大时,所求的余数等于余数之积再除以 c 的余数。例如:23,19
4、 除以 5 的余数分别是 3 和 4,所以 2319 除以 5 的余数等于 34 除以 5 的余数,即 2.|3.同余定理若两个整数 a、b 被自然数 m 除有相同的余数,那么称 a、b 对于模 m 同余,用式子表示为:ab ( mod m ),左边的式子叫做同余式。同余式读作:a 同余于 b,模 m。由同余的性质,我们可以得到一个非常重要的推论:若两个数 a,b 除以同一个数 m 得到的余数相同,则 a,b 的差一定能被 m 整除用式子表示为:如果有 ab ( mod m ),那么一定有 abmk,k 是整数,即 m|(ab)三、弃九法原理:在公元前 9 世纪,有个印度数学家名叫花拉子米,写
5、有一本花拉子米算术 ,他们在计算时通常是在一个铺有沙子的土板上进行,由于害怕以前的计算结果丢失而经常检验加法运算是否正确,他们的检验方式是这样进行的:例如:检验算式 1234891267891028931234 除以 9 的余数为 11898 除以 9 的余数为 818922 除以 9 的余数为 4678967 除以 9 的余数为 7178902 除以 9 的余数为 0这些余数的和除以 9 的余数为 2而等式右边和除以 9 的余数为 3,那么上面这个算式一定是错的。上述检验方法恰好用到的就是我们前面所讲的余数的加法定理,即如果这个等式是正确的,那么左边几个加数除以 9 的余数的和再除以 9 的
6、余数一定与等式右边和除以 9 的余数相同。而我们在求一个自然数除以 9 所得的余数时,常常不用去列除法竖式进行计算,只要计算这个自然数的各个位数字之和除以 9 的余数就可以了,在算的时候往往就是一个 9 一个 9 的找并且划去,所以这种方法被称作“弃九法” 。所以我们总结出弃九发原理:任何一个整数模 9 同余于它的各数位上数字之和。以后我们求一个整数被 9 除的余数,只要先计算这个整数各数位上数字之和,再求这个和被 9 除的余数即可。利用十进制的这个特性,不仅可以检验几个数相加,对于检验相乘、相除和乘方的结果对不对同样适用注意:弃九法只能知道原题一定是错的或有可能正确,但不能保证一定正确。例如
7、:检验算式 9+9=9 时,等式两边的除以 9 的余数都是 0,但是显然算式是错误的但是反过来,如果一个算式一定是正确的,那么它的等式 2 两端一定满足弃九法的规律。这个思想往往可以帮助我们解决一些较复杂的算式迷问题。|四、中国剩余定理:1.中国古代趣题:中国数学名著孙子算经里有这样的问题:“今有物,不知其数,三三数之,剩二,五五数之,剩三,七七数之,剩二,问物几何?”答曰:“二十三。 ”此类问题我们可以称为“物不知其数”类型,又被称为“韩信点兵” 。韩信点兵又称为中国剩余定理,相传汉高祖刘邦问大将军韩信统御兵士多少,韩信答说,每 3 人一列余 1 人、5 人一列余 2 人、7 人一列余 4
8、人、13 人一列余 6 人。刘邦茫然而不知其数。 我们先考虑下列的问题:假设兵不满一万,每 5 人一列、9 人一列、13 人一列、17 人一列都剩 3 人,则兵有多少? 首先我们先求 5、9、13、17 之最小公倍数 9945(注:因为 5、9、13、17 为两两互质的整数,故其最小公倍数为这些数的积) ,然后再加 3,得 9948(人) 。 孙子算经的作者及确实著作年代均不可考,不过根据考证,著作年代不会在晋朝之后,以这个考证来说上面这种问题的解法,中国人发现得比西方早,所以这个问题的推广及其解法,被称为中国剩余定理。中国剩余定理(Chinese Remainder Theorem)在近代抽
9、象代数学中占有一席非常重要的地位。2.核心思想和方法:对于这一类问题,我们有一套看似繁琐但是一旦掌握便可一通百通的方法,下面我们就以孙子算经中的问题为例,分析此方法:今有物,不知其数,三三数之,剩二,五五数之,剩三,七七数之,剩二,问物几何?题目中我们可以知道,一个自然数分别除以 3,5,7 后,得到三个余数分别为 2,3,2.那么我们首先构造一个数字,使得这个数字除以 3 余 1,并且还是 5 和 7 的公倍数。先由 ,即 5 和 7 的最小公倍数出发,先看 35 除以 3 余 2,不符合要求,那么就继续看 5573和 7 的“下一个”倍数 是否可以,很显然 70 除以 3 余 120类似的
10、,我们再构造一个除以 5 余 1,同时又是 3 和 7 的公倍数的数字,显然 21 可以符合要求。最后再构造除以 7 余 1,同时又是 3,5 公倍数的数字,45 符合要求,那么所求的自然数可以这样计算:,其中 k 是从 1 开始的自然数。203245,72,7kk也就是说满足上述关系的数有无穷多,如果根据实际情况对数的范围加以限制,那么我们就能找到所求的数。例如对上面的问题加上限制条件“满足上面条件最小的自然数” ,那么我们可以计算 得到所求270312453,72如果加上限制条件“满足上面条件最小的三位自然数”,|我们只要对最小的 23 加上3,5,7即可,即 23+105=128。例题精
11、讲:【模块一:带余除法的定义和性质】【例 1】 (第五届小学数学报竞赛决赛)用某自然数 去除 ,得到商是 46,余数是 ,求 和 a192rar【 解析解析 】 因为 是 的 倍还多 ,得到 ,得 ,所以 ,192a46r192463.463143r【 巩固巩固 】 (清华附中小升初分班考试) 甲、乙两数的和是 ,甲数除以乙数商 余 ,求甲、乙两数082【 解析解析 】 (法 1)因为 甲 乙 ,所以 甲 乙 乙 乙 乙 ;1321321308则乙 ,甲 乙 108)810(法 2)将余数先去掉变成整除性问题,利用倍数关系来做:从 中减掉 以后, 就应当082156是乙数的 倍,所以得到乙数
12、,甲数 ()56281【 巩固巩固 】 一个两位数除 310,余数是 37,求这样的两位数。【 解析解析 】 本题为余数问题的基础题型,需要学生明白一个重要知识点,就是把余数问题-即“不整除问题”转化为整除问题。方法为用被除数减去余数,即得到一个除数的倍数;或者是用被除数加上一个“除数与余数的差” ,也可以得到一个除数的倍数。本题中 310-37=273,说明 273 是所求余数的倍数,而 273=3713,所求的两位数约数还要满足比 37 大,符合条件的有 39,91.【例 2】 ( 年全国小学数学奥林匹克试题)有两个自然数相除,商是 ,余数是 ,已知被除数、203 173除数、商与余数之和
13、为 ,则被除数是多少?213【 解析解析 】 被除数 除数 商 余数 被除数 除数+17+13=2113,所以被除数 除数=2083,由于被除数是除数的 17 倍还多 13,则由“和倍问题”可得:除数=(2083-13)(17+1)=115,所以被除数=2083-115=1968【 巩固巩固 】 用一个自然数去除另一个自然数,商为 40,余数是 16.被除数、除数、商、余数的和是 933,求这 2 个自然数各是多少?【 解析解析 】 本题为带余除法定义式的基本题型。根据题意设两个自然数分别为 x,y,可以得到,解方程组得 ,即这两个自然数分别是 856,21.401693xy85621xy【例
14、 3】 (2000 年“祖冲之杯”小学数学邀请赛试题)三个不同的自然数的和为 2001,它们分别除以19,23,31 所得的商相同,所得的余数也相同,这三个数是_,_,_。【 解析解析 】 设所得的商为 ,除数为 , ,由 ,ab(19)(23)(1)20aba73201ab9b|可求得 , 所以,这三个数分别是 , , 。27a10b19523ab631ab847ab【 巩固巩固 】 (2004 年福州市“迎春杯”小学数学竞赛试题) 一个自然数,除以 11 时所得到的商和余数是相等的,除以 9 时所得到的商是余数的 3 倍,这个自然数是_【 解析解析 】 设这个自然数除以 11 余 ,除以
15、9 余 ,则有 ,即a(01)b(09)193ab,只有 , ,所以这个自然数为 。37ab7b84712【例 4】 (1997 年我爱数学少年数学夏令营试题)有 48 本书分给两组小朋友,已知第二组比第一组多 5人如果把书全部分给第一组,那么每人 4 本,有剩余;每人 5 本,书不够如果把书全分给第二组,那么每人 3 本,有剩余;每人 4 本,书不够问:第二组有多少人? 【 解析解析 】 由 , 知,一组是 10 或 11 人同理可知 , 知,二组48124859.6483164812是 13、14 或 15 人,因为二组比一组多 5 人,所以二组只能是 15 人,一组 10 人【 巩固巩固
16、 】 一个两位数除以 13 的商是 6,除以 11 所得的余数是 6,求这个两位数【 解析解析 】 因为一个两位数除以 13 的商是 6,所以这个两位数一定大于 ,并且小于1378;又因为这个两位数除以 11 余 6,而 78 除以 11 余 1,这个两位数13(6)91为 785【模块二:三大余数定理的应用】【例 5】 有一个大于 1 的整数,除 所得的余数相同,求这个数.45,910【解析】 这个题没有告诉我们,这三个数除以这个数的余数分别是多少,但是由于所得的余数相同,根据同余定理,我们可以得到:这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差,也就是说它是任意两数差的公约数 , , , 的约数
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