奥数专栏定义新运算(带答案~完美排版~).doc
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1、|定义新运算我们学过的常用运算有:、等.如:235236都是 2 和 3,为什么运算结果不同呢?主要是运算方式不同,实际是对应法则不同.可见一种运算实际就是两个数与一个数的一种对应方法,对应法则不同就是不同的运算.当然,这个对应法则应该是对任意两个数,通过这个法则都有一个唯一确定的数与它们对应.只要符合这个要求,不同的法则就是不同的运算.在这一讲中,我们定义了一些新的运算形式,它们与我们常用的“”,“”,“”,“”运算不相同.我们先通过具体的运算来了解和熟悉“定义新运算”.例 1、设 a、 b 都表示数,规定 ab3a2b,求 32, 23;这个运算 “”有交换律吗?求(17 6)2,17(6
2、 2);这个运算 “”有结合律吗?如果已知 4b2 ,求 b.分析:解定义新运算这类题的关键是抓住定义的本质,本题规定的运算的本质是:用运算符号前面的数的 3 倍减去符号后面的数的 2 倍.解: 32332 294523322 3660.由的例子可知“” 没有交换律.要计算(17 6)2,先计算括号内的数,有:1763172639;再计算第二步 3923 392 2113,所以(176)2113.对于 17(62),同样先计算括号内的数,62362214,其次 17143172 1423,所以 17(62)23.由的例子可知“”也没有结合律.因为 4b 342 b122b,那么 122b 2,
3、解出 b5.例 2、定义运算为 a ba b(ab),求 5 7,75; 求 12(34),(123)4;这个运算 “”有交换律、结合律吗? 如果 3(5x)3,求 x.解: 5757( 57)351223 ,7 575(75)351223.要计算 12(3 4),先计算括号内的数,有: 3434(34)5,再计算第二步 125125(125)43,所以 12(34)43.对于(123)4,同样先计算括号内的数,123123(123)21,|其次 214214(214)59,所以(12 3)459.由于 abab(ab);bab a(ba)a b(a b )(普通加法、乘法交换律)所以有 ab
4、ba ,因此 “”有交换律.由的例子可知,运算“”没有结合律.5x 5x(5 x)4x5;3(5x)3(4x5)3(4x5)(34x5)12x15(4x2) 8x 13那么 8x133 解出 x2.例 3、定义新的运算 a babab. 求 6 2,2 6; 求(1 2) 3, 1 (2 3);这个运算有交换律和结合律吗? 解: 6 2626220,2 626 2620.(1 2) 3( 1212) 35 35353231 (2 3) 1 (2323)1 1111111123.先看“”是否满足交换律:a baba bb ababa a bab(普通加法与乘法的交换律)所以 a bb a,因此“
5、”满足交换律.再看“”是否满足结合律:(a b) c(abab) c(a b ab)cababc abc acbcab abc.a (b c)a (bcbc)a (b cbc)abcbc abc abaca bcbc|abc ac bcab abc.(普通加法的交换律)所以(a b) ca (b c),因此“”满足结合律.说明:“”对于普通的加法不满足分配律,看反例:1 (2 3)1 5151511;1 2 1 312 1213135 712;因此 1 (23) 1 21 3.例 4、有一个数学运算符号“”,使下列算式成立: 248,5313,3511,9725,求 73?解:通过对 248,
6、5 313,3511,97 25 这几个算式的观察,找到规律:ab2ab,因此 7327317.例 5、x、y 表示两个数,规定新运算“*”及“”如下:x*y=mx+ny,x y=kxy,其中 m、n、k 均为自然数,已知 1*2=5,(2*3) 4=64,求(12)*3 的值.分析:我们采用分析法,从要求的问题入手,题目要求 12)*3 的值,首先我们要计算 12,根据“”的定义: 12=k12=2k,由于 k 的值不知道,所以首先要计算出 k 的值,k 值求出后,l 2 的值也就计算出来了.我们设 12=a, (12)* 3=a*3,按“*”的定义: a*3=ma+3n,在只有求出 m、n
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