八年级-上全等三角形专栏讲解.doc
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1、|CE O DBA21CEDBA全等三角形专题讲解专题一 全等三角形判别方法的应用专题概说:判定两个三角形全等的方法一般有以下 4 种:1三边对应相等的两个三角形全等(简写成“SSS” )2两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(简写成“SAS” )3两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(简写成“ASA” )4两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等(简写成“AAS”)而在判别两个直角三角形全等时,除了可以应用以上 4 种判别方法外,还可以应用“斜边、直角边” ,即斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(简写成“HL” ) 也就是说 “斜边、直角边”是判别两个直角三角形全等
2、的特有的方法,它仅适用于判别两个直角三角形全等三角形全等是证明线段相等,角相等最基本、最常用的方法,这不仅因为全等三角形有很多重要的角相等、线段相等的特征,还在于全等三角形能把已知的线段相等、角相等与未知的结论联系起来那么我们应该怎样应用三角形全等的判别方法呢?(1)条件充足时直接应用在证明与线段或角相等的有关问题时,常常需要先证明线段或角所在的两个三角形全等,而从近年的中考题来看,这类试题难度不大,证明两个三角形的条件比较充分只要同学们认真观察图形,结合已知条件分析寻找两个三角形全等的条件即可证明两个三角形全等例 1 已知:如图 1,CEAB 于点 E,BDAC 于点 D,BD、CE 交于点
3、 O,且 AO 平分BAC 那么图中全等的三角形有 _对分析:由 CEAB,BDAC,得AEO=ADO=90由 AO 平分BAC,得EAO=DAO 又 AO 为公共边,所以AEO ADO所以 EO=DO,AE=AD又BEO=CDO=90,BOE=COD,所以BOECOD 由AE=AD,AEO=ADO=90,BAC 为公共角,所以EACDAO所以 AB=AC又EAO=DAO, AO 为公共边,所以 ABOACO 图 1所以图中全等的三角形一共有 4 对(2)条件不足,会增加条件用判别方法此类问题实际是指条件开放题,即指题中没有确定的已知条件或已知条件不充分,需要补充使三角形全等的条件解这类问题的
4、基本思路是:执果索因,逆向思维,逐步分析,探索结论成立的条件,从而得出答案例 2 如图 2,已知 AB=AD, 1= 2,要使ABCADE,还需添加的条件是(只需填一个)_|21 43COBAGA BFDEC分析:要使ABCADE,注意到1=2,所以1+DAC=2+DAC,即BAC=EAC要使ABCADE,根据 SAS 可知只需 AC=AE 图 2即可;根据 ASA 可知只需B= D;根据 AAS 可知只需C=E故可添加的条件是 AC=AE 或B=D 或C=E(3)条件比较隐蔽时,可通过添加辅助线用判别方法在证明两个三角形全等时,当边或角的关系不明显时,可通过添加辅助线作为桥梁,沟通边或角的关
5、系,使条件由隐变显,从而顺利运用全等三角形的判别方法证明两个三角形全等例 3 已知:如图 3,AB=AC,1= 2求证:AO 平分BAC分析:要证 AO 平分BAC,即证BAO=BCO,要证BAO=BCO,只需证BAO 和BCO 所在的两个三角形全等而由已知条件知,只需再证明 BO=CO 即可证明:连结 BC因为 AB=AC,所以ABC ACB因为1=2,所以ABC -1ACB -2 图 3即3=4,所以 BO=CO因为 AB=AC,BO=CO,AO=AO ,所以ABOACO所以BAO=CAO,即 AO 平分BAC (4)条件中没有现成的全等三角形时,会通过构造全等三角形用判别方法有些几何问题
6、中,往往不能直接证明一对三角形全等,一般需要作辅助线来构造全等三角形 例 4 已知:如图 4,在 Rt ABC 中,ACB=90,AC=BC,D 为 BC的中点,CEAD 于 E,交 AB 于 F,连接 DF求证:ADC=BDF 证明:过 B 作 BGBC 交 CF 延长线于 G,所以 BGAC 所以G= ACE因为 ACBC,CEAD,所以ACE= ADC所以G=ADC因为 AC=BC,ACDCBG=90,所以 图 4ACDCBG所以 BG=CD=BD因为CBF=GBF=45,BF=BF,所以GBF DBF所以 G=BDF所以ADCBDF 所以ADCBDF说明:常见的构造三角形全等的方法有如
7、下三种:涉及三角形的中线问题时,常采用延长中线一倍的方法,构造出一对全等三角形;涉及角平分线问题时,经过角平分线上一点向两边作垂线,可以得到一对全等|ODACBFCEDBACEDBAAO QM CPBNHFEG ADCB三角形;证明两条线段的和等于第三条线段时,用“截长补短”法可以构造一对全等三角形(5)会在实际问题中用全等三角形的判别方法新课标强调了数学的应用价值,注意培养同学们应用数学的意识,形成解决简单实际问题的能力在近年中考出现的与全等三角形有关的实际问题,体现了这一数学理念,应当引起同学们的重视例 5 要在湖的两岸 A、B 间建一座观赏桥,由于条件限制,无法直接度量 A,B 两点间的
8、距离请你用学过的数学知识按以下要求设计一测量方案(1)画出测量图案(2)写出测量步骤(测量数据用字母表示) 图 5 (3)计算 A、B 的距离(写出求解或推理过程,结果用字母表示)分析:可把此题转化为证两个三角形全等第(1)题,测量图案如图 5所示第(2)题,测量步骤:先在陆地上找到一点 O,在 AO 的延长线上取一点 C,并测得 OC=OA,在 BO 的延长线上取一点 D,并测得 OD=OB,这时测得 CD 的长为 ,则 AB 的长就是 第(3)题易证AOBaaCOD,所以 AB=CD,测得 CD 的长即可得 AB 的长解:(1)如图 6 示(2)在陆地上找到可以直接到达 A、B 的一点 O
9、,在 AO 的延长线上取一点 C,并测得 OCOA,在 BO 的延长线上取一点 D,并测得 ODOB,这时测出 CD 的长为 ,则 AB 的长就是 aa(3)理由:由测法可得 OC=OA,OD=OB 又COD=AOB,CODAOBCD=AB= 图 6a评注:本题的背景是学生熟悉的,提供了一个学生动手操作的机会,重点考查了学生的操作能力,培养了学生用数学的意识练习:1已知:如图 7,D 是ABC 的边AB 上一点,ABFC,DF 交 AC 于点 E,DE=FE 图 7求证:AE=CE 2如图 8,在ABC 中,点 E 在 BC 上,点D 在 AE 上,已知ABD= ACD,BDE=CDE求证:B
10、D=CD 图 83用有刻度的直尺能平分任意角吗?下面是一种方法:如图 9 所示,先在AOB 的两边上取 OP=OQ,再取 PM=QN,连接 PN、QM,得交点 C,则射线 OC平分AOB你能说明道理吗? 图 94如图 10,ABC 中,AB=AC ,过点 A 作|A DCPBADC FB E AD CBAODCBAFCGBEAF DCB EGEBC ,角平分线 BD、CF 相交于点 H,它们的延长线分别交 GE 于点 E、G试在图 10 中找出 3对全等三角形,并对其中一对全等三角形给出证明 图 105已知:如图 11,点 C、D 在线段AB 上,PC=PD 请你添加一个条件,使图中存在全等三
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