2016年成人高考-高数二重点笔记资料(淘宝花钱买的~)课件.doc
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1、|第 一 章 极 限 和 连 续第 一 节 极 限 复 习 考 试 要 求 1.了 解 极 限 的 概 念 ( 对 极 限 定 义 等 形 式 的 描 述 不作 要 求 ) 。 会 求 函 数 在 一 点 处 的 左 极 限 与 右 极 限 , 了 解 函 数 在 一点 处 极 限 存 在 的 充 分 必 要 条 件 。 2.了 解 极 限 的 有 关 性 质 , 掌 握 极 限 的 四 则 运 算 法 则 。3.理 解 无 穷 小 量 、 无 穷 大 量 的 概 念 , 掌 握 无 穷 小 量 的 性 质 、 无 穷小 量 与 无 穷 大 量 的 关 系 。 会 进 行 无 穷 小 量 阶
2、的 比 较 ( 高 阶 、 低 阶 、同 阶 和 等 价 ) 。 会 运 用 等 价 无 穷 小 量 代 换 求 极 限 。 4.熟 练 掌 握 用 两 个 重 要 极 限 求 极 限 的 方 法 。主 要 知 识 内 容 ( 一 ) 数 列 的 极 限1.数 列定 义 按 一 定 顺 序 排 列 的 无 穷 多 个 数称 为 无 穷 数 列 , 简 称 数 列 , 记 作 xn, 数 列 中 每 一 个 数 称 为 数 列的 项 , 第 n 项 xn为 数 列 的 一 般 项 或 通 项 , 例 如( 1) 1, 3, 5, , ( 2n-1) , ( 等 差 数 列 )( 2) ( 等 比
3、 数 列 )( 3) ( 递 增 数 列 )( 4) 1, 0, 1, 0, , ( 震 荡 数 列 )都 是 数 列 。 它 们 的 一 般 项 分 别 为( 2n-1) , 。对 于 每 一 个 正 整 数 n, 都 有 一 个 xn与 之 对 应 , 所 以 说 数 列 xn可看 作 自 变 量 n 的 函 数 xn=f( n) , 它 的 定 义 域 是 全 体 正 整 数 , 当 自变 量 n 依 次 取 1,2,3一 切 正 整 数 时 , 对 应 的 函 数 值 就 排 列 成 数列 。在 几 何 上 , 数 列 xn可 看 作 数 轴 上 的 一 个 动 点 , 它 依 次 取
4、 数 轴 上的 点 x1,x2,x3,.xn,。2.数 列 的 极 限定 义 对 于 数 列 xn, 如 果 当 n 时 , xn无 限 地 趋 于 一 个 确 定 的常 数 A, 则 称 当 n 趋 于 无 穷 大 时 , 数 列 xn以 常 数 A 为 极 限 , 或称 数 列 收 敛 于 A, 记 作 比 如 :无 限 的 趋 向 0, 无 限 的 趋 向 1否 则 , 对 于 数 列 xn, 如 果 当 n 时 , xn不 是 无 限 地 趋 于 一 个确 定 的 常 数 , 称 数 列 xn没 有 极 限 , 如 果 数 列 没 有 极 限 , 就 称 数列 是 发 散 的 。比 如
5、 : 1, 3, 5, , ( 2n-1) , 1, 0, 1, 0, 数 列 极 限 的 几 何 意 义 : 将 常 数 A 及 数 列 的 项 依 次 用 数 轴上 的 点 表 示 , 若 数 列 xn以 A 为 极 限 , 就 表 示 当 n 趋 于 无 穷 大 时 ,点 xn可 以 无 限 靠 近 点 A, 即 点 xn与 点 A 之 间 的 距 离 |xn-A|趋 于0。比 如 :无 限 的 趋 向 0无 限 的 趋 向 1( 二 ) 数 列 极 限 的 性 质 与 运 算 法 则1.数 列 极 限 的 性 质定 理 1.1( 惟 一 性 ) 若 数 列 xn收 敛 , 则 其 极
6、限 值 必 定 惟 一 。定 理 1.2( 有 界 性 ) 若 数 列 xn收 敛 , 则 它 必 定 有 界 。注 意 : 这 个 定 理 反 过 来 不 成 立 , 也 就 是 说 , 有 界 数 列 不 一 定 收 敛 。比 如 :1, 0, 1, 0, 有 界 : 0, 12.数 列 极 限 的 存 在 准 则定 理 1.3( 两 面 夹 准 则 ) 若 数 列 xn,yn,zn满 足 以 下 条 件 :( 1) ,( 2) , 则定 理 1.4 若 数 列 xn单 调 有 界 , 则 它 必 有 极 限 。3.数 列 极 限 的 四 则 运 算 定 理 。定 理 1.5 ( 1)(
7、2)( 3) 当 时 ,( 三 ) 函 数 极 限 的 概 念1.当 x x0时 函 数 f( x) 的 极 限( 1) 当 x x0时 f( x) 的 极 限定 义 对 于 函 数 y=f( x) , 如 果 当 x 无 限 地 趋 于 x0时 , 函 数 f( x)无 限 地 趋 于 一 个 常 数 A, 则 称 当 x x0时 , 函 数 f( x) 的 极 限 是A, 记 作或 f( x) A( 当 x x0时 )例 y=f( x) =2x+1x 1,f( x) ?x1x 1( 2) 左 极 限当 x x0时 f( x) 的 左 极 限定 义 对 于 函 数 y=f( x) , 如 果
8、 当 x 从 x0的 左 边 无 限 地 趋 于 x0时 ,函 数 f( x) 无 限 地 趋 于 一 个 常 数 A, 则 称 当 x x0时 , 函 数f( x) 的 左 极 限 是 A, 记 作 或 f( x0-0) =A( 3) 右 极 限当 x x0时 , f( x) 的 右 极 限|定 义 对 于 函 数 y=f( x) , 如 果 当 x 从 x0的 右 边 无 限 地 趋 于 x0时 ,函 数 f( x) 无 限 地 趋 于 一 个 常 数 A, 则 称 当 x x0时 , 函 数f( x) 的 右 极 限 是 A, 记 作或 f( x0+0) =A例 子 : 分 段 函 数,
9、 求 ,解 : 当 x 从 0 的 左 边 无 限 地 趋 于 0 时 f( x) 无 限 地 趋 于 一 个 常 数1。 我 们 称 当 x 0 时 , f( x) 的 左 极 限 是 1, 即 有当 x 从 0 的 右 边 无 限 地 趋 于 0 时 , f( x) 无 限 地 趋 于 一 个 常 数 -1。 我 们 称 当 x 0 时 , f( x) 的 右 极 限 是 -1, 即 有显 然 , 函 数 的 左 极 限 右 极 限 与 函 数 的 极 限 之 间有 以 下 关 系 :定 理 1.6 当 x x0时 , 函 数 f( x) 的 极 限 等 于 A 的 必 要 充 分 条 件
10、是反 之 , 如 果 左 、 右 极 限 都 等 于 A, 则 必 有 。x 1 时 f(x) ?x1x 1f(x) 2对 于 函 数 , 当 x 1 时 , f( x) 的 左 极 限 是 2, 右 极 限也 是 2。2.当 x 时 , 函 数 f( x) 的 极 限( 1) 当 x 时 , 函 数 f( x) 的 极 限y=f(x)x f(x) ?y=f(x)=1+x f(x)=1+ 1定 义 对 于 函 数 y=f( x) , 如 果 当 x 时 , f( x) 无 限 地 趋 于 一个 常 数 A, 则 称 当 x 时 , 函 数 f( x) 的 极 限 是 A, 记 作或 f( x)
11、 A( 当 x 时 )( 2) 当 x + 时 , 函 数 f( x) 的 极 限定 义 对 于 函 数 y=f( x) , 如 果 当 x + 时 , f( x) 无 限 地 趋 于 一个 常 数 A, 则 称 当 x + 时 , 函 数 f( x) 的 极 限 是 A, 记 作这 个 定 义 与 数 列 极 限 的 定 义 基 本 上 一 样 , 数 列 极 限 的 定 义 中n + 的 n 是 正 整 数 ; 而 在 这 个 定 义 中 , 则 要 明 确 写 出x + , 且 其 中 的 x 不 一 定 是 正 整 数 , 而 为 任 意 实 数 。y=f(x)x + f(x)x ?x
12、 + , f(x)=2+ 2例 : 函 数 f( x) =2+e-x, 当 x + 时 , f( x) ?解 : f( x) =2+e-x=2+ ,x + , f( x) =2+ 2所 以( 3) 当 x - 时 , 函 数 f( x) 的 极 限定 义 对 于 函 数 y=f( x) , 如 果 当 x - 时 , f( x) 无 限 地 趋 于 一个 常 数 A, 则 称 当 x - 时 , f( x) 的 极 限 是 A, 记 作x - f(x) ?则 f(x)=2+ (x 0)x - ,-x +f(x)=2+ 2例 : 函 数 , 当 x - 时 , f( x) ?解 : 当 x -
13、时 , -x + 2, 即 有由 上 述 x , x + , x - 时 , 函 数 f( x) 极 限 的 定 义 , 不难 看 出 : x 时 f( x) 的 极 限 是 A 充 分 必 要 条 件 是 当 x + 以及 x - 时 , 函 数 f( x) 有 相 同 的 极 限 A。例 如 函 数 , 当 x - 时 , f( x) 无 限 地 趋 于 常 数 1, 当x + 时 , f( x) 也 无 限 地 趋 于 同 一 个 常 数 1, 因 此 称 当 x 时 的 极 限 是 1, 记 作其 几 何 意 义 如 图 3 所 示 。f(x)=1+y=arctanx|不 存 在 。但
14、 是 对 函 数 y=arctanx 来 讲 , 因 为 有即 虽 然 当 x - 时 , f( x) 的 极 限 存 在 , 当 x + 时 , f( x) 的极 限 也 存 在 , 但 这 两 个 极 限 不 相 同 , 我 们 只 能 说 , 当 x 时 ,y=arctanx 的 极 限 不 存 在 。x)=1+y=arctanx不 存 在 。但 是 对 函 数 y=arctanx 来 讲 , 因 为 有即 虽 然 当 x - 时 , f( x) 的 极 限 存 在 , 当 x + 时 , f( x) 的极 限 也 存 在 , 但 这 两 个 极 限 不 相 同 , 我 们 只 能 说
15、, 当 x 时 ,y=arctanx 的 极 限 不 存 在 。( 四 ) 函 数 极 限 的 定 理定 理 1.7( 惟 一 性 定 理 ) 如 果 存 在 , 则 极 限 值 必 定 惟 一 。定 理 1.8( 两 面 夹 定 理 ) 设 函 数 在 点 的 某 个 邻 域 内 (可 除 外 ) 满 足 条 件 :( 1) , ( 2)则 有 。注 意 : 上 述 定 理 1.7 及 定 理 1.8 对 也 成 立 。下 面 我 们 给 出 函 数 极 限 的 四 则 运 算 定 理定 理 1.9 如 果 则( 1)( 2)( 3) 当 时 , 时 ,上 述 运 算 法 则 可 推 广 到
16、 有 限 多 个 函 数 的 代 数 和 及 乘 积 的 情 形 , 有以 下 推 论 :( 1)( 2)( 3)用 极 限 的 运 算 法 则 求 极 限 时 , 必 须 注 意 : 这 些 法 则 要 求 每 个 参 与运 算 的 函 数 的 极 限 存 在 , 且 求 商 的 极 限 时 , 还 要 求 分 母 的 极 限 不能 为 零 。另 外 , 上 述 极 限 的 运 算 法 则 对 于 的 情 形 也 都 成 立 。( 五 ) 无 穷 小 量 和 无 穷 大 量1.无 穷 小 量 ( 简 称 无 穷 小 )定 义 对 于 函 数 , 如 果 自 变 量 x 在 某 个 变 化 过
17、 程 中 , 函 数的 极 限 为 零 , 则 称 在 该 变 化 过 程 中 , 为 无 穷 小 量 , 一 般 记作常 用 希 腊 字 母 , 来 表 示 无 穷 小 量 。定 理 1.10 函 数 以 A 为 极 限 的 必 要 充 分 条 件 是 :可 表 示 为 A 与 一 个 无 穷 小 量 之 和 。注 意 : ( 1) 无 穷 小 量 是 变 量 , 它 不 是 表 示 量 的 大 小 , 而 是 表 示 变量 的 变 化 趋 势 无 限 趋 于 为 零 。( 2) 要 把 无 穷 小 量 与 很 小 的 数 严 格 区 分 开 , 一 个 很 小 的 数 , 无 论它 多 么
18、 小 也 不 是 无 穷 小 量 。( 3) 一 个 变 量 是 否 为 无 穷 小 量 是 与 自 变 量 的 变 化 趋 势 紧 密 相 关 的 。在 不 同 的 变 化 过 程 中 , 同 一 个 变 量 可 以 有 不 同 的 变 化 趋 势 , 因 此结 论 也 不 尽 相 同 。例 如 :振 荡 型 发 散 ( 4) 越 变 越 小 的 变 量 也 不 一 定 是 无 穷 小 量 , 例 如 当 x 越 变 越 大 时 ,就 越 变 越 小 , 但 它 不 是 无 穷 小 量 。( 5) 无 穷 小 量 不 是 一 个 常 数 , 但 数 “0”是 无 穷 小 量 中 惟 一 的
19、一 个数 , 这 是 因 为 。2.无 穷 大 量 ( 简 称 无 穷 大 )定 义 ; 如 果 当 自 变 量 ( 或 ) 时 , 的 绝 对 值 可 以 变 得 充 分大 ( 也 即 无 限 地 增 大 ) , 则 称 在 该 变 化 过 程 中 , 为 无 穷 大 量 。记 作 。注 意 : 无 穷 大 ( ) 不 是 一 个 数 值 , “ ”是 一 个 记 号 , 绝 不 能 写成 或 。3.无 穷 小 量 与 无 穷 大 量 的 关 系无 穷 小 量 与 无 穷 大 量 之 间 有 一 种 简 单 的 关 系 , 见 以 下 的 定 理 。定 理 1.11 在 同 一 变 化 过
20、程 中 , 如 果 为 无 穷 大 量 , 则 为 无穷 小 量 ; 反 之 , 如 果 为 无 穷 小 量 , 且 , 则 为 无 穷 大量 。当 无 穷 大无 穷 小当 为 无 穷 小无 穷 大4.无 穷 小 量 的 基 本 性 质性 质 1 有 限 个 无 穷 小 量 的 代 数 和 仍 是 无 穷 小 量 ;性 质 2 有 界 函 数 ( 变 量 ) 与 无 穷 小 量 的 乘 积 是 无 穷 小 量 ; 特 别 地 ,常 量 与 无 穷 小 量 的 乘 积 是 无 穷 小 量 。性 质 3 有 限 个 无 穷 小 量 的 乘 积 是 无 穷 小 量 。|性 质 4 无 穷 小 量 除
21、 以 极 限 不 为 零 的 变 量 所 得 的 商 是 无 穷 小 量 。5.无 穷 小 量 的 比 较定 义 设 是 同 一 变 化 过 程 中 的 无 穷 小 量 , 即 。( 1) 如 果 则 称 是 比 较 高 阶 的 无 穷 小 量 , 记 作 ;( 2) 如 果 则 称 与 为 同 阶 的 无 穷 小 量 ;( 3) 如 果 则 称 与 为 等 价 无 穷 小 量 , 记 为 ;( 4) 如 果 则 称 是 比 较 低 价 的 无 穷 小 量 。 当等 价 无 穷 小 量 代 换 定 理 :如 果 当 时 , 均 为 无 穷 小 量 , 又 有 且存 在 , 则 。均 为 无 穷
22、 小又 有这 个 性 质 常 常 使 用 在 极 限 运 算 中 , 它 能 起 到 简 化 运 算 的 作 用 。 但是 必 须 注 意 : 等 价 无 穷 小 量 代 换 可 以 在 极 限 的 乘 除 运 算 中 使 用 。常 用 的 等 价 无 穷 小 量 代 换 有 :当 时 ,sinx x;tan x;arctanx x;arcsinx x;( 六 ) 两 个 重 要 极 限1.重 要 极 限 重 要 极 限 是 指 下 面 的 求 极 限 公 式令这 个 公 式 很 重 要 , 应 用 它 可 以 计 算 三 角 函 数 的 型 的 极 限 问 题 。其 结 构 式 为 :2.重
23、 要 极 限 重 要 极 限 是 指 下 面 的 公 式 :其 中 e 是 个 常 数 ( 银 行 家 常 数 ) , 叫 自 然 对 数 的 底 , 它 的 值 为e=2.718281828495045其 结 构 式 为 :重 要 极 限 是 属 于 型 的 未 定 型 式 , 重 要 极 限 是 属 于 “ ”型 的 未定 式 时 , 这 两 个 重 要 极 限 在 极 限 计 算 中 起 很 重 要 的 作 用 , 熟 练 掌握 它 们 是 非 常 必 要 的 。( 七 ) 求 极 限 的 方 法 :1.利 用 极 限 的 四 则 运 算 法 则 求 极 限 ;2.利 用 两 个 重 要
24、 极 限 求 极 限 ;3.利 用 无 穷 小 量 的 性 质 求 极 限 ;4.利 用 函 数 的 连 续 性 求 极 限 ;5.利 用 洛 必 达 法 则 求 未 定 式 的 极 限 ;6.利 用 等 价 无 穷 小 代 换 定 理 求 极 限 。基 本 极 限 公 式( 2)( 3)( 4)例 1.无 穷 小 量 的 有 关 概 念( 1) 9601下 列 变 量 在 给 定 变 化 过 程 中 为 无 穷 小 量 的 是A. B.C. D. 答 CA. 发 散D.( 2) 0202当 时 , 与 x 比 较 是A.高 阶 的 无 穷 小 量 B.等 价 的 无 穷 小 量C.非 等 价
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