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1、|第二章 行 列 式1. 求以下 9 级排列的逆序数,从而决定它们的奇偶性1) 1 3 4 7 8 2 6 9 5;2) 2 1 7 9 8 6 3 5 4;3) 9 8 7 6 5 4 3 2 1;解:1) 所求排列的逆序数为: ,10310178所以此排列为偶排列。2) 所求排列的逆序数为: ,845296354所以此排列为偶排列。4) 所求排列的逆序数为:,所以此排列为偶排列。362197897654321 2.选择 与 使ik1) 1274 56 9 成偶排列;i2) 1 25 4897 成奇排列。解: 1) 当 时, 所求排列的逆序数为:38i,2745691274856390413
2、01k故当 时的排列为偶排列.。,i2)当 时, 所求排列的逆序数为:3k,125489713256489701015i故当 时的排列为奇排列。,k3.写出把排列 12345 变成排列 25341 的那些对换。解: 12345 。253412543121434, 4.决定排列 的逆序数,并讨论它的奇偶性。n解: 因为 1 与其它数构成 个逆序,2 与其它数构成 个逆序,n2n 构成 1 个逆序,所以排列 的逆序数为与 1n222n |4,142,3nknk故 当 时 , 排 列 为 偶 排 列 ; 当 时 排 列 为 奇 排 列 。5.如果排列 的逆序数为 ,排列 的逆序数是多少?nx2 1x
3、解: 因为比 大的数有 个,所以在 与 这i ix2n nx121两个排列中,由 与比它的各数构成的逆序数的和为 .因而,由 构成的逆ix ixi序总数恰为 。而排列 的逆序数为 ,故排2121n n121 k列 的逆序数为 。xn k6.在 6 阶行列式中, , 这两项应带有6514231aa2561432a什么符号?解: ,故项 前面的符号为正;)1(4312645245 2561432,故项 带正号。1462341653415 2561432aa7写出 4 阶行列式中所有带有负号并且因子 的项。解: 所求的各项应是 , , 4321a4132142314a。8按定义计算行列式:1) 2)
4、000 n .0100 nn3) 。nn012 解:1)所给行列式的展开式中只含有一个非零项 ,1,21nna它前面的符号应为 ,所以原行列式= 。2)1(21)( nn !22)所给行列式的展开式中只含有一个非零项 ,1,231na|它前面的符号应为 ,所以原行列式= !。1123nn n13)所给行列式的展开式中只含有一个非零项 , 它前面naa1,2,1,的符号应为 ,所以原行列式= !。2121nnn n29由行列式定义证明:002154321edcbbaa解:行列式展开的一般项可表示为 ,列标 只可以54321jjjaa543j在 1,2,3,4,5 中取不同的值,故三个下标中至少有
5、一个要取 3,4,5 列中之一数,从而任何一个展开式中至少要包含一个 0 元素,故所给行列式展开式中每一项的乘积必为 0,因此原行列式值为 0。10 由行列式定义计算中 与 的系数,并说明理由。 xxf12343x解:含有 的展开项只能是 ,所以 的系数为 2;同理,含有 的4x432a4 3x展开项只能是 ,所以 的系 数为-1。4321ax11.由 , 证明:奇偶排列各半。01 证:由题设,所给行列式的展开式中的每一项的绝对值等于 1。 而行列式的值为 0,这说明带正号与带负号的项的项数相等.根据行列式的定义,其展开式中的每一项的符号是由该乘积中各因子下标排列的逆序数所决定的,即当该乘积中
6、各因子的第一个下标排成自然顺序,且第二个下标所成排列为偶排列时,该项前面所带的符号为正,否则为负号,所以,由带正号的项与带负号的项数相等即说明奇偶排列各半。|12设 ,其中 是互不相同的12122112nnnaaxxP 121,na数。1)由行列式定义,说明 是一个 次多项式;xP2)由行列式性质,求 的根。解:1)因为所给行列式的展开式中只有第一行含有 ,所以若行列式的第x一行展开时,含有 的对应项的系数恰为 乘一个范德蒙行列式1nx1n2121332211nnnaaaa 于是,由 为互不相同的的数即知含有 的对应项的系数不为 0,121,na 1x因而 为一个 次的多项式。xP2) 若用
7、分代替 时,则由行列式的性质知所给行列式的值为121,n x0,即 .故 至少有 个根 .又因为 是一0iaP1n121,na xP个 次的多项式,所以 必是 的全部根。2,a xP13计算下面的行列式:1) 2) 3) 617342350yxy314) 5) 6)321yx11|2222 2222 31ddccbbaa解:1) 原式= = 6214371062704555 50327491062)原式= =xyxyxy 0)( 32y3)原式= 。48620163164) 原式= =20 。10313210430216045)原式= 21001xxxyy6)原式= =0 。215231222
8、2 dcbaddccbbaa14.证明 。2211222111 cbaacb证明:由行列式的性质,有左边=2 2222 1111 bacba|=2 =2 右边 。222111cbca21cba15算出下列行列式的全部代数余子式:1) 2)301244103解:1) ,61A, , , , , , ,02301412A6023A24。312344445,7,1,2) , ,,1,7321A,623221。5,53323116计算下面的行列式:1) 2)1234521032113) 4)53012210 21031221|解:1)原式= = 。2105321045102512)原式= =10234
9、610231 31316424203) 原式 = 1425301420514=- =3 386012593863806159 4831694)原式= 1360216244806214228= =-172013583621482573088817计算下列 阶行列式:n|1) 2)xyyx000 nnn nbaba 21212113) 4)mxxmnn 2121 n 235) n10022013 解:1)按第一列展开,原式= 。nyx12)从第 2 列起各列减去第 1 列原式= nnnbba1212211 当 时,原式=0;3当 时,原式= ;2n1212ba当 时,原式= 。11|3)原式= mxxmnnni 221200nnixxm 11nnix4)原式= 12010012012nn = !。2n5)各列加到第 1 列得到原式= = 。100220132nnn 12n18.证明:1) 。ninnaaa10212100 |2) 。0111210010 axaxaxx nnn 3) 。 110001 n 4) 。cos2100cos0cos21cos 5) 。 ninn aaaa 1211321111 证明:4)分别将第 行乘以- 加到第 1 行,得),2(ni 1ia左边= nni aa 0100120
限制150内