第三章直线与-方程重点及典型例题.doc
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1、|第三章 直线与方程知识点及典型例题1. 直线的倾斜角定义:x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地,当直线与 x 轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为 0 度。因此,倾斜角的取值范围是 01802. 直线的斜率定义:倾斜角不是 90的直线,它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用 k 表示。即 k=tan。斜率反映直线与轴的倾斜程度。当直线 l 与 x 轴平行或重合时, = 0, k = tan0=0;当直线 l 与 x 轴垂直时 , = 90, k 不存在.当 90,时, ; 当 180,9时, k; 当 90时, k不存在。例.如右图,直线 l1 的倾斜角 =
2、30,直线 l1l 2,求直线 l1 和 l2 的斜率.解:k 1=tan30= l 1l 2 k 1k2 =13k 2 =例:直线 的倾斜角是 ( )05yxA.120 B.150 C.60 D.30过两点 P1 (x1,y 1)、P 1(x1,y 1) 的直线的斜率公式: )(212xxyk 注意下面四点:(1)当 21x时,公式右边无意义,直线的斜率不存在,倾斜角为 90;(2)k 与 P1、P 2 的顺序无关;(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得;(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。例.设直线 l1 经过点 A(m,1)、B(3,4) ,直线 l
3、2 经过点 C(1,m) 、D(1,m+1),当(1) l 1/ / l2 (2) l1l 1 时分别求出 m 的值三点共线的条件:如果所给三点中任意两点的斜率都有斜率且都相等,那么这三点共线。3. 直线方程点斜式: )(11xky直线斜率 k,且过点 1,yx注意:当直线的斜率为 0时,k=0,直线的方程是 y=y1。xyo12l1l2|当直线的斜率为 90时,直线的斜率不存在,它的方程不能用点斜式表示但因 l 上每一点的横坐标都等于 x1,所以它的方程是 x=x1。斜截式: y=kx+b,直线斜率为 k,直线在 y 轴上的截距为 b两点式: 1122x( 212,x)直线两点 P1 (x1
4、,y 1)、P 1(x1,y 1)截矩式: yab其中直线 l与 轴交于点(a,0) ,与 y 轴交于点(0 ,b),即 l 与 x 轴、y 轴的截距分别为 a、b。注意:一条直线与两条坐标轴截距相等分两种情况 两个截距都不为 0 或都为 0 ;但不可能一个为 0,另一个不为 0. 其方程可设为: 1xyab或 y=kx. 一般式: Ax+By+C=0(A,B 不全为 0)注意:(1)在平时解题或高考解题时,所求出的直线方程,一般要求写成斜截式或一般式。各式的适用范围 (3)特殊式的方程如:平行于 x 轴的直线: by(b 为常数) ; 平行于 y 轴的直线: ax(a 为常数) ; 例题:根
5、据下列各条件写出直线的方程,并且化成一般式:(1)斜率是 ,经过点 A(8,2) ; .12(2)经过点 B(4,2),平行于 x 轴; .(3)在 轴和 轴上的截距分别是 ; .xy3,2(4)经过两点 P1(3,2)、P 2(5,4); .例 1:直线 的方程为 Ax+By+C=0,若直线经过原点且位于第二、四象限,则( )lAC=0,B0 BC =0,B0,A0 CC=0,AB0例 2:直线 的方程为 AxByC=0,若 A、B、C 满足 AB.0 且 BC0,则 l 直线不经的象限是l( ) A第一 B第二 C第三 D第四4. 两直线平行与垂直 当 11:bxkyl, 22:bxkyl
6、时,2,/; 11l注意:利用斜率判断直线的平行与垂直时,要注意斜率的存在与否。5. 已知两条直线 l1:A 1x+B1y+C1=0,l 2:A 2x+B2y+C2=0,(A1 与 B1 及 A2 与 B2 都不同时为零)|若两直线相交,则它们的交点坐标是方程组 的一组解。0CBA2211yx两条直线的交角:两条相交直线 与 的夹角:两条相交直线 与 的夹角,是指由 与 相交所成的四个角中1l2 1l21l2最小的正角 ,又称为 和 所成的角,它的取值范围是 ,当 ,则有 .l ,09021tank若方程组无解 21/l ; 若方程组有无数解 1l与 2重合6. 点的坐标与直线方程的关系几何元
7、素 代数表示点 P 坐标 P(xo,y o) 直线 l 方程 Ax+By+C=0点 P(xo,y o)在直线 l 上 坐标 满足方程:A x+By+C=0),(0点 P(xo,y o)是 l1、l 2 的交点 坐标(x o,y o)满足方程组 CB22117. 两条直线的位置关系的判定公式A1B2A2B10 方程组有唯一解 两直线相交,C121或 A1C2A2C1 0无解 两直线平行B121或 A1C2A2C1 = 0有无数个解 两直线重合两条直线垂直的判定条件:当 A1、B 1、A 2、B 2 满足 时 l1l 2。答:A 1A2+B1B2=0经典例题;例 1.已知两直线 l1: x+(1+
8、m) y =2m 和 l2:2mx+4y+16=0,m 为何值时 l1 与 l2相交平行解:例 2. 已知两直线 l1:(3a+2) x+(14a) y + 8=0 和 l2:(5a2)x+(a+4)y 7=0 垂直,求 a 值解:例 3.求两条垂直直线 l1:2x + y +2=0 和 l2: mx+4y2=0 的交点坐标|解:例 4. 已知直线 l 的方程为 ,12xy(1)求过点(2,3)且垂直于 l 的直线方程;(2)求过点(2,3)且平行于 l 的直线方程。8. 两点间距离公式:设 A(x1,y 1)、B(x 2,y 2)是平面直角坐标系中的两个点,则|AB|= 2(9. 点到直线距
9、离公式:一点 P(xo,y o)到直线 l:A x+By+C=0 的距离 2oBACd|yx|10. 两平行直线距离公式例:已知两条平行线直线 l1 和 l2 的一般式方程为 l1:A x+By+C1=0,l 2:A x+By+C2=0,则 l1 与 l2 的距离为 2BACd例 1:求平行线 l1:3x + 4y 12=0 与 l2: ax+8y+11=0 之间的距离。例 2:已知平行线 l1:3x +2y 6=0 与 l2: 6x+4y3=0,求与它们距离相等的平行线方程。11. 直线系方程已知两条直线 l1:A 1x+B1y+C1=0,l 2:A 2x+B2y+C2=0,(A 1 与 B
10、1 及 A2 与 B2 都不同时为零)若两直线相交,则过它们的交点直线方程可以表示为:l:A 1x+B1y+C1+(A2x+B2y+C2) =0 或者 (A 1x+B1y+C1)+ A2x+B2y+C2 =0 都可以例 1:直线 l:(2m+1)x+(m+1)y7m 4=0 所经过的定点为 。(mR)例 2:求满足下列条件的直线方程(1) 经过点 P(2,3) 及两条直线 l1: x+3y4=0 和 l2:5x+2y+1=0 的交点 Q;(2) 经过两条直线 l1: 2x+y8=0 和 l2:x 2y+1=0 的交点且与直线 4x3y7=0 平行;(3) 经过两条直线 l1: 2x3y+10=
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