非常全面的《概率论与-数理统计》-预习复习材料.doc
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1、|概率论与数理统计复习大纲第一章 随机事件与概率随机试验 E-指试验可在相同条件下重复进行,试验的结果具有多种可能性(每次试验有且仅有一个结果出现,且事先知道试验可能出现的一切结果,但不能预知每次试验的确切结果。样本点 -随机试验 E 的每一个可能出现的结果样本空间 -随机试验 E 的样本点的全体随机事件-由样本空间中的若干个样本点组成的集合,即随机事件是样本空间的一个子集。基本概念必然事件-每次试验中必定发生的事件。 不可能事件 -每次试验中一定不发生的事件。事件之间的关系包含 AB相等 A=B对立事件,也称 A 的逆事件互斥事件 AB= 也称不相容事件A,B 相互独立 P(AB)=P(A)
2、P(B)例 1 事件 A,B 互为对立事件等价于( D )A、A,B 互不相容 B、A,B 相互独立 C、AB D、A,B 构成对样本空间的一个剖分例 2 设 P(A)=0,B 为任一事件,则( C )A、A= B、AB C、A 与 B 相互独立 D、A 与 B 互不相容事件的交 AB 或 AB事件的并 AB事件的差 A-B 注意: A-B = A= A-AB = (A B)-BB 例 1 设事件 A、B 满足 A =,由此推导不出 (D)BA、AB B、 C、AB=B D、AB=BA B例 2 若事件 B 与 A 满足 B A=B,则一定有 (B)A、A= B、AB= C、A = D、B=B
3、 A事件之间的运算 A1,A2,An 构成 的一个完备事件组( 或分斥)指 A1,A2,An 两两互不相容,且 Ai= i=1n 运算法则交换律 AB=BA AB=BA结合律(AB)C=A(BC) (AB)C=A (BC) 分配律(AB)C=(AC) (BC) (AB)C=(AC)(BC)对偶律 = = A B A B A B A B 文氏图 事件与集合论的对应关系表记号 概率论 集合论 样本空间,必然事件 全集 不可能事件 空集 基本事件 元素A 事件 全集中的一个子集A A 的对立事件 A 的补集AB 事件 A 发生导致事件 B 发生 A 是 B 的子集A=B 事件 A 与事件 B 相等
4、A 与 B 相等AB 事件 A 与事件 B 至少有一个发生 A 与 B 的并集AB 事件 A 与事件 B 同时发生 A 与 B 的交集A-B 事件 A 发生但事件 B 不发生 A 与 B 的差集|AB= 事件 A 与事件 B 互不相容(互斥) A 与 B 没有相同的元素古典概型的前提是 =1, 2, 3, n, n 为有限正整数,且每个样本点 i 出现的可能性相等。古典概型P(A)= =A包 含 样 本 总 个 数样 本 点 总 数 |A|例 1 设 3 个球任意投到四个杯中去,问杯中球的个数最多为 1 个的事件 A1,最多为 2 个的事件 A2 的概率。解 :每个球有 4 种放入法,3 个球
5、共有 43 种放入法,所以|=4 3=64。(1)当杯中球的个数最多为 1 个时,相当于四个杯中取 3 个杯子,每个杯子恰有一个球,所以|A 1|= C 3!=24 ;则 P(A1)=24/64 =3/8. (2) 当杯中球的个数最多为43 2 个时,相当于四个杯中有 1 个杯子恰有 2 个球(C C ),另有一个杯子恰有 1 个球41 32 (C C ),所以|A 2|= C C C C =36;则 P(A2)=36/64 =9/16 31 11 41 32 31 11 例 2 从 1,2,9,这九个数中任取三个数,求:(1)三数之和为 10 的概率 p1;(2) 三数之积为 21 的倍数的
6、概率 p2。解 :p 1= = , p2= = 121 314例 1 把长度为 a 的棒任意折成三段,求它们可以构成一个三角形的概率。解 :设折得的三段长度分别为 x,y 和 a-x-y,那么,样本空间,S=(x,y)|0xa,0ya,0a-x-ya。而随机事件 A:”三段构成三角形”相应的区域 G 应满足两边之和大于第三边的原则,得到联立方程组,几何概型前提是如果在某一区域 任取一点,而所取的点落在 中任意两个度量相等的子区域的可能性是一样的。若 A,则 P(A)= A的 度 量的 度 量解得 00)P(AB)P(B)P(A|B)表示事件 B 发生的条件下,事件 A 发生的概率。乘法公式:P
7、(AB)=P(A)P(B|A)= P(B)P(A|B) (其中 P(A)0, P(B)0)一般有 P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB) (其中 P(AB)0)全概率公式:P(B)= P(B|Ai)P(Ai) 其中 A1,A2,An 构成 的一个分斥。ni=1贝叶斯公式:P(A k|B)= = P(B|Ak)P(Ak)P(B)应用题例 1 设两两相互独立的三个事件 A, B 和 C 满足条件:ABC= ,P(A)=P(B)=P(C)0,则事件 A 与 B 独立 P(B|A)=P(B)2. 事件 A 与事件 B 独立 事件 A 与事件 独立B 事件 与事件 B 独立 事件 与事件 独立
8、A A B 事件 A1,A2,An 相互独立-指任意 k 个事件 Ai1,Ai2,Aik 满足 P(Ai1Ai2Aik)=P( Ai1)P(Ai2)P(Aik),其中 k=2,3,n。可靠性元件的可靠性 P(A)=r系统的可靠性: 串联方式 P(A1A 2A n)=rn并联方式 P(A1A 2A n)=1-(1-r)n , 贝努里概型指在相同条件下进行 n 次试验;每次试验的结果有且仅有两种 A 与 ;各次试验是相互独立;每次试验的结果发A 生的概率相同 P(A)=p, P( )=1-p。A |二项概率-在 n 重独立试验中,事件 A 恰好发生 k 次的概率为 b(k;n,p),则b(k;n,
9、p)= C pk(1-p)n-k (k=0,1,2,3,n)。nk 第二章 随机变量与概率分布随机变量的分布函数分布函数定义:F(x)=Px, - a=1-F(a), Pa=1-F(a-0), 例 1.设随机变量 的分布函数为 F(x)= , 则 0 xb )2)指数分布 exp();密度函数 p(x)= 分布函数 F(x)= e-x x00 x0 ) 1-e-x x00 x0 )3)正态分布 N(,2);密度函数 p(x)= e (-x+)12 -(t-)222分布函数 F(x)= e dt12 -x-(t-)222标准正态分布 N(0,1),它的分布函数 (x)可查表得到,一般 F(x)=
10、( )。x-正态分布的密度函数的曲线是钟形对称曲线,对称轴为直线 x=,y=0 是它的水平渐近线。|连续型例题例 1 设随机变量 X 服从参数为 1 的泊松分布,则 PX=EX2= .解 :因为 X 服从参数为 1 的泊松分布,所以 EX2=DX+ (EX)2=1+12=2, 于是 PX=EX2=PX=2= e 1 12例 2 设一设备开机后无故障工作的时间 X 服从指数分布,平均无故障工作的时间 EX 为 5 小时。设备定时开机,出现故障时自动关机,而在无故障的情况下工作 2 小时便关机。试求该设备每次开机无故障的时间 Y 的分布函数 F(y)。解: XE(), 因为 EX=1/=5 =1/
11、5, 每次开机无故障的时间 Y=minX,2,易见当 y0 时, F(y)=0;当 y2 时,F(y)=1;当 0y2 时,F(y)=PY y=P minX,2y=PXy=1-e-y/5。所以 Y 的分布函数 F(y)= 0 若 y01-e-y/5 若 0y21 若 y2 )随机变量的函数的概率分布1离散型的求法设离散型随机变量 X 的分布律为: ,则 X 的函数 Y=g(X)的分布律为:X x1 x2 xk P p1 p2 pk , 当 g(xj)有相同情况时,概率为相应之和。Y g(x1) g(x2) g(xk) P p1 p2 pk 2连续型的公式法:设 X 为连续型随机变量,其密度函数
12、为 fX(x),设 g(x)是一严格单调的可导函数,其值域, ,且 g(x)0,记x=h(y)为 y=g(x)的反函数,则 Y=g(X)的密度函数为 fY(y)=fX(h(y)|h(y)| y0 其 它 )3连续型的直接变换法(分布函数法 ):FY(y)=PYy= Pg(x)y= PXS,其中 S=x|g(x)y,然后再把 FY(y)对 y 求导,即得 fY(y)fY(y)=dFY(y)/dy 当 FY(y)在 y处 可 导 时0 当 FY(y)在 y处 不 可 导 时 )|随机变量的函数的概率分布的例题例 1 设 X 的分布律为: ,求 Y=(X-1)2 的分布律。X -1 0 1 2P 0
13、.2 0.3 0.1 0.4解 :先由 X 的值确定 Y 的值,得到 ,将 Y 的值相同的 X 的概率合在一起,得到 Y 的分布律X -1 0 1 2Y 4 1 0 1。Y 4 1 0P 0.2 0.7 0.1例 2 设随机变量 X 的分布函数为 FX(x),求随机变量 Y=3X+2 的分布函数 FY(y).解 :F Y(y)=PYy= P3X+2y= PX = FX( ) y-23 y-23例 3 设随机变量 X 的密度函数为 fX(x)= ,求随机变量 Y=3X+2 的密度函数 fY(y).32x2 -1x10 其 它 )解 :用公式法:设 y=g(x)=3x+2, y=g(x)的反函数为
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