高一寒假(清北班~)资料1(函数的周期性~).doc
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1、|专题一:函数的周期性(一)函数的周期性对于函数 ,如果存在一个非零常数 ,使得当 取定义域内的每一个值时,都有)(xf Tx,则 为周期函数, 为这个函数的一个周期。若 为一个周期,则Tf)(xf T也为周期。若周期函数 的正周期中有一个最小者,这个周期就叫 最小正周期。nZ)(f(1) 已知函数 对任意实数 ,都有 ,则 是 的一个周期。()f )(xmfx2()fx证明:因为 ,所以, ,()xmfx(2)()f mfx所以 是以 为周期的周期函数。()f2(2) 已知函数 对任意实数 ,都有 ,则 是 的一个周期。()f )(f()f证明:因为 ,令 ,则 ,于是)ft2xt对于 恒成
2、立,所以 是以 为周期的周期函数。()fttR(f(3) 已知函数 对任意实数 ,都有 ,则 是 的一个周期。()fxx1()fmm()fx证明:由已知 ,所以(2)() ()11)fxffmf fx 是以 为周期的周期函数。()fx(4) 已知函数 对任意实数 ,都有 ,则 是 的一个周期。()fxx()()1ffmx4m()fx证明:由已知 ,于()(2)()ffxmfxx1()fxf1()f是,所以 是以 为周期的周期函数。1(4)()(2fxfxfx()f4m如:还有“ ”、 “ ”等也是周期函数。)mf1fx(二)函数的对称性与周期性及关系:(1)函数 对于定义域上的任意 ,如果都有
3、 或 ,(xf x(2)(afx)()fafx则函数 关于直线 对称,反之也成立。)a(2)函数 对于定义域上的任意 ,如果都有 或f,()faf则函数 关于点 对称,反之也成立。)x,0(3)一般地,函数有两种及以上的对称性时,则函数是周期函数。 (详见补充中的定理 3)|如: 已知函数 对任意实数 ,都有 且 ,则()fxx()()faxf()()fbxf是 的一个周期 。2ab()ab证明:不妨设 ,于是2(2)(2)fffab, 是 的一个周期;当()()()fxfx(x时同理可得。所以, 是 的周期。补充:定理 1:函数 的图象关于点 对称的充要条件是 。()yfx(,)Aab()2
4、)fab证明:(必要性)设点 是 图象上任一点,点 关于点 的对称,Pyfx,Pxy(,A点 也在 图象上, ,即 ,(2,Pab)f2yfafx故,必要性得证。)2fxx(充分性)设点 是 图象上任一点,则 ,0(,y()fx0()fx, ,即 。故点(ab002)ab002aby也在 图象上,而点 与点 关于点 对称,充分性得征。02,)PfP,A推论:函数 的图象关于原点 对称的充要条件是 。(yfxO()fx定理 2:函数 的图象关于直线 对称的充要条件是 ,即)xa()afx。 (证明留给读者)()fxa推论:函数 的图象关于 轴对称的充要条件是 。(fy()f定理 3:若函数 图象
5、同时关于点 和点 成中心对称 ,则)yx(,)Ac,Bb()b是周期函数,且 是其一个周期。()yf2ab若函数 图象同时关于直线 和直线 成轴对称 ,则 是周fxx()ayfx期函数,且 是其一个周期。2ab若函数 图象既关于点 成中心对称又关于直线 成轴对称 ,则()fx(,)cxb()b是周期函数,且 是其一个周期。yf4ab的证明留给读者,已证明,以下给出的证明:函数 图象既关于点 成中心对称, ,用 代()(,)A()2)fac2x得: (*)x22fbxfxc又函数 图象直线 成轴对称, 代入(*)得:ybxbx(*) ,()()ca用 代 得 代入(*)得:()(4)ffa,故
6、是周期函数,且 是其一个周期。4fxbxyfx1函数的周期性:例 1已知 是实数集 上的函数,且对任意 恒成()fR,()1)xRfx()f立。(1)求证: 是周期函数;x|(2)已知 ,求 的值。(3)2f(04)f变式训练(1)设偶函数 对任意 ,都有 ,且当 时,)(xfR1(3)()fxfx3,2,则 的值是( )()2f13.5(A) (B) (C) (D)727155(2)已知 ,定义 ,则)(xf1,2),0x )(),()(11xffxfxfnn 其 中( )2081()5fA B C D5354522函数奇偶性、周期性、对称性与综合应用:例 2 (1)定义在 上的函数 的图象
7、关于点 成中心对称,对任意的实数R()fx3(,0)4都有 ,且 ,则 的x3()()2ffx=-+1,-=(0)2f-1(2)3(208)fff+值为( )A B C0 D12-(2)已知 是定义在 上的且以 2 为周期的偶函数,当 时,()fxR0x,如果直线 与曲线 恰有两个交点,则实数 的值是( 2()fyxa()yfxa)A. B. C. 或 D.以上答案都不对0()akZk1()4akZ(3)已知函数 fx是定义域为 R的周期为 3的奇函数,且当 (0,1.5)x时2()ln1)fx,则方程 ()0fx在区间 ,6上的解的个数是 。|(4)定义在 R 上的偶函数 满足:()yfx对
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