多元函数的极值及其-求法.doc
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1、|第十一讲 二元函数的极值要求:理解多元函数极值的概念,会用充分条件判定二元函数的极值,会用拉格朗日乘数法求条件极值。问题提出:在实际问题中,往往会遇到多元函数的最大值,最小值问题,与一元函数相类似,多元函数的最大值,最小值与极大值,极小值有密切的关系,因此以二元函数为例,来讨论多元函数的极值问题一二元函数的极值定义 设函数 在点 的某个邻域内有定义,对于该邻域内的所有),(yxfz),(0,如果总有 ,则称函数 在点 处),(),0yxyxf),(yxfz),(0有极大值;如果总有 ,则称函数 在点 有极小值),(),(0fyxf,f0函数的极大值,极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极
2、值点例 1函数 在点 处不取得极值,因为在点 处的函数值为零,而在点z),( ),(的任一邻域内总有使函数值为正的点,也有使函数值为负的点)0,(例 2函数 在点 处有极小值243yxz)0,(因为对任何 有 ),(,ff从几何上看,点 是开口朝上的椭圆抛物面 的顶点,曲面在点0 243yxz处有切平面 ,从而得到函数取得极值的必要条件)0,(z定理 1(必要条件)设函数 在点 具有偏导数,且在点 处有极值,则它在该点),(yxf),(0 ),(0yx的偏导数必然为零,即 , x ),(0yxf几何解释若函数 在点 取得极值 ,那么函数所表示的曲面在点),(yfz),(00z处的切平面方程为)
3、,(0yx )(,)(, 0000 yxfxyfzyx 是平行于 坐标面的平面 oyz类似地有三元及三元以上函数的极值概念,对三元函数也有取得极值的必要条件为|, ,0),(0zyxf 0),(0zyxf 0),(0zyxfz说明 上面的定理虽然没有完全解决求极值的问题,但它明确指出找极值点的途径,即只要解方程组 ,求得解 ,那么极值点必),(0yxf ),(),(,21n包含在其中,这些点称为函数 的驻点),(yxfz注意 1驻点不一定是极值点,如 在 点)0,(怎样判别驻点是否是极值点呢?下面定理回答了这个问题定理 2(充分条件)设函数 在点 的某邻域内连续,且有一阶及二阶连续偏导数,又)
4、,(yxfz),(0, ,0x 0),(yxf令 , , ,则Ayxf),(0Byf),( Cy(1)当 时,函数 在点 取得极值,且当 时,有2BC),(xfz),(0y0A极大值 ,当 时,有极小值 ;0(,)fxy0(2)当 时,函数 在点 没有极值;2A),(yxfz),(0(3)当 时,函数 在点 可能有极值,也可能没有极值,BC还要另作讨论求函数 极值的步骤:),(yxfz(1)解方程组 , ,求得一切实数解,即可求得一切驻点00x 0),(0yxf;),(),(,2nyyx(2)对于每一个驻点 ,求出二阶偏导数的值 ;ix1,2) CBA,(3)确定 的符号,按定理 2 的结论判
5、定 是否是极值,是极大值还是极2BAC),(iyxf小值;(4)考察函数 是否有导数不存在的点,若有加以判别是否为极值点),(yxf例 3考察 是否有极值2z解 因为 , 在 处导数不存在,但是对所2yx2yxz0,y|有的 ,均有 ,所以函数在 点取得极大值)0,(,yx 0),(),(fyxf )0,(注意 2极值点也不一定是驻点,若对可导函数而言,怎样?例 4求函数 的极值xyf 93),(23解 先解方程组 ,求得驻点为 ,062yfxx )2,3(0,)2,1(再求出二阶偏导函数 , , xxyf6yf在点 处, ,又 ,所以函数在点 处有极小值为)0,1( 7212BACA)0,1
6、(;5f在点 处, ,所以 不是极值;)2,( 02),1(f在点 处, ,所以 不是极值;037BAC03在点 处, ,又 ,所以函数在点 处有极大值为),(2A)2,3(12f二函数的最大值与最小值求最值方法: 将函数 在区域 内的全部极值点求出;),(yxfD 求出 在 边界上的最值;即分别求一元函数 , 的1(,)fx2(,)fx最值; 将这些点的函数值求出,并且互相比较,定出函数的最值实际问题求最值根据问题的性质,知道函数 的最值一定在区域 的内部取得,而函数在 内),(yxf DD只有一个驻点,那么可以肯定该驻点处的函数值就是函数 在 上的最值),(yxf例 4求把一个正数 分成三
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