概率论与-数理统计习题-答案~详解版(廖茂新复旦版~).doc
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1、|概率论与数理统计习题答案详解版(廖茂新复旦版)习 题 一1.设 A,B , C 为三个事件,用 A,B,C 的运算式表示下列事件:(1) A 发生而 B 与 C 都不发生;(2) A,B ,C 至少有一个事件发生;(3) A,B ,C 至少有两个事件发生;(4) A,B ,C 恰好有两个事件发生;(5) A,B 至少有一个发生而 C 不发生;(6) A,B ,C 都不发生.解:(1)A 或 ABC 或 A(B C ).(2)A BC .(3) (AB) (AC )(BC).(4) (AB )(AC )(BC ).BA(5) (AB) .C(6) 或 .2.对于任意事件 A,B,C,证明下列关
2、系式:(1)(A +B) (A+ )( + B)( + )= ;A(2)AB+ B +A + = AB;(3)A -(B+C)= (A-B)-C.证明:略.|3.设 A,B 为两事件,P(A )=0.5, P(B)=0.3,P(AB)=0.1,求:(1) A 发生但 B 不发生的概率;(2) A,B 都不发生的概率;(3) 至少有一个事件不发生的概率.解(1) P(A )=P(A-B)=P(A-AB)=P(A)- P(AB )=0.4;(2) P( )=P( )=1-P(AB)=1-0.7=0.3;B(3) P( )= P( ) =1-P(AB)=1-0.1=0.9.A4.调查某单位得知。购买
3、空调的占 15,购买电脑占 12,购买DVD 的占 20%;其中购买空调与电脑占 6%,购买空调与 DVD 占 10%,购买电脑和 DVD 占 5,三种电器都购买占 2。求下列事件的概率。(1)至少购买一种电器的;(2)至多购买一种电器的;(3)三种电器都没购买的.解:(1) 0.28, (2)0.83, (3) 0.725.10 把钥匙中有 3 把能打开门,今任意取两把,求能打开门的概率。解:8/156.任意将 10 本书放在书架上。其中有两套书,一套 3 本,另一套 4本。求下列事件的概率。(1)3 本一套放在一起; |(2)两套各自放在一起;(3)两套中至少有一套放在一起.解: (1)1
4、/15, (2)1/210, (3)2/217. 12 名新生中有 3 名优秀生,将他们随机地平均分配到三个班中去,试求:(1) 每班各分配到一名优秀生的概率;(2) 3 名优秀生分配到同一个班的概率.解 12 名新生平均分配到三个班的可能分法总数为 34812)!(C(1) 设 A 表示“每班各分配到一名优秀生”3 名优秀生每一个班分配一名共有 3!种分法,而其他 9 名学生平均分配到 3 个班共有 种分法,由乘法原理,A 包含基本事3)!(9件数为3! =3)!(92故有P(A)= / =16/552)!3(9341(2) 设 B 表示“3 名优秀生分到同一班” ,故 3 名优秀生分到同一
5、班共有 3 种分法,其他 9 名学生分法总数为 ,故由!419C4819乘法原理,B 包含样本总数为 3 .!41故有 P(B)= / =3/552他3!|8.箱中装有 a 只白球,b 只黑球,现作不放回抽取,每次一只.(1) 任取 m+n 只,恰有 m 只白球,n 只黑球的概率(m a,nb);(2) 第 k 次才取到白球的概率(kb+1);(3) 第 k 次恰取到白球的概率.解 (1)可看作一次取出 m+n 只球,与次序无关,是组合问题.从 a+b 只球中任取 m+n 只,所有可能的取法共有 种,每一种nmbaC取法为一基本事件且由于对称性知每个基本事件发生的可能性相同.从 a 只白球中取
6、 m 只,共有 种不同的取法,从 b 只黑球中取 n 只,maC共有 种不同的取法.由乘法原理知,取到 m 只白球,n 只黑球的取nbC法共有 种,于是所求概率为map1= .nmbaC(2) 抽取与次序有关.每次取一只,取后不放回,一共取 k 次,每种取法即是从 a+b 个不同元素中任取 k 个不同元素的一个排列,每种取法是一个基本事件,共有 个基本事件,且由于对称性知每kbaP个基本事件发生的可能性相同.前 k-1 次都取到黑球,从 b 只黑球中任取 k-1 只的排法种数,有 种,第 k 次抽取的白球可为 a 只白球1b中任一只,有 种不同的取法.由乘法原理,前 k-1 次都取到黑球,1P
7、a第 k 次取到白球的取法共有 种,于是所求概率为1Pakbp2= .kba|(3) 基本事件总数仍为 .第 k 次必取到白球,可为 a 只白球中kbaP任一只,有 种不同的取法,其余被取的 k-1 只球可以是其余 a+b-11Pa只球中的任意 k-1 只,共有 种不同的取法,由乘法原理,第 k1kba次恰取到白球的取法有 种,故所求概率为1Pp3= .kab9.在区间(0,1)内任取两个数,求这两个数的乘积小于 1/4 的概率.解 设在(0,1)内任取两个数为 x,y,则 0x 1,0y1图 1-7即样本空间是由点(x,y )构成的边长为 1 的正方形 ,其面积为1.令 A 表示 “两个数乘
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