概率论与-数理统计第4章作业题解.doc
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1、|第四章作业题解4.1 甲、乙两台机床生产同一种零件, 在一天内生产的次品数分别记为 X 和 Y . 已知的概率分布如下表所示:XYX 0 1 2 3P 0.4 0.3 0.2 0.1Y 0 1 2 3P 0.3 0.5 0.2 0如果两台机床的产量相同, 问哪台机床生产的零件的质量较好?解: 1.32.14.0)( XE9053Y因为 ,即乙机床的平均次品数比甲机床少,所以乙机床生产的零件质量较)(好。4.2 袋中有 5 个球, 编号为1,2,3,4,5, 现从中任意抽取3 个球, 用X表示取出的3 个球中的最大编号,求E(X ).解:X 的可能取值为 3,4,5.因为 ; ;1.0)3(5
2、CP 3.01)4(352CXP6.)(3524所以 5.40.1.0XE4.3 设随机变量 X 的概率分布 其中 是个常数,1(0,2),()kaPX 0a求 ()解: ,下面求幂级数 的和函数,1121 1()()()k kk kaaE:1kx易知幂级数的收敛半径为 ,于是有R1 2()(),1()kkxx x|根据已知条件, ,因此 ,所以有0a1a.221()()EX:4.4 某人每次射击命中目标的概率为 , 现连续向目标射击, 直到第一次命中目标为止, p求射击次数的期望.解:因为 的可能取值为1,2,。依题意,知 的分布律为XX1(),12,kPqk 所以 )()()()( 111
3、 qppkEkkq)(224.5 在射击比赛中, 每人射击4 次, 每次一发子弹. 规定4弹全未中得0分, 只中1弹得15分, 中2弹得30 分, 中3弹得55分, 中4弹得100分. 某人每次射击的命中率为0.6, 此人期望能得到多少分?解:设 4 次射击中命中目标的子弹数为 X,得分为 Y,则 XB(4,0.6)因为 0256.4.60)(4CXP13.131.)2(2445606.313CXP29.)(4所以 Y 的分布律为Y 0 15 30 55 100P 0.0256 0.1536 0.3456 0.3456 0.1296故期望得分为 1296.03456.03456.0156.26
4、.)( E= 44.644.6 设随机变量 X 的概率分布为 说明 的期望不132()(1,),kPX X存在。|解:级数 发散,不符合离散型随机变量期望定义的要11 132()kkkkxp求,从而 的期望不存在.X4.7 设从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗, 在各交通岗遇到红灯是相互独立的, 其概率均为0.4. 求途中遇到红灯次数的期望.解:设遇到红灯次数为 X,依题意,知 XB(3,0.4) 故 2.1403)(E4.8 设随机变量X的概率密度函数为, 求,()2120,xf其 他 ().EX解:31212320101()()()().xEXxfdxdx4.9 设随机变量 X 的概率
5、密度函数为,2,()40,axfbc其 他又 ,求常数 的值.3()21EXP,abc解: 由 ,得 (fxd2402()xdx 126cba因为 xf420)()() 6358所以,由 ,得 XE6358cba又 dxdxP221)()31( cba25由 ,得 44c解联立方程,得 , ,a1b4.10 设随机变量X的概率密度函数为 说明 的期望不2(),1)fxxX|存在.解:积分 ,显然,积分发散,根据连续型随机220()(1)1xxxfddd变量期望的定义, 的期望不存在.X4.11 某地抽样调查结果表明, 考生的外语成绩X(百分制) 近似服从正态分布, 平均成绩为72 分, 96
6、分以上的考生占考生总数的2.3%. 求考生外语成绩在60 分至84 分之间的概率.解:设 ,依题意得,),(2NX72)(E又 ,则023.%.96P )2(9.06XP即有 所以 得 )(7(91所以 1,2NX故所求的概率为 )|127(|)|72(|)8460( XPXPP68.013.2)4.12 对习题4.1 中的随机变量X, 计算 .22()(54)EX、解: 1.03.3.014.0)(22 E45)(54.13 设随机变量X的概率密度函数为, ,0()xef分别计算 的期望和 的期望2Y2XYe解:因为 ,其中 ,所以 )(EX11)(E故 2)(23)( 002 dxexed
7、xfeX4.14 对球的直径做近似测量, 设其值均匀分布在区间 内, 求球体积的均值.()ab|解:设球的直径测量值为 ,体积为 ,则有 .显然 的概率密度函数为XV316X1,()0axbfxb其 他因此,球体积的均值为.23311()()64baabEVXxd4.15 游客乘电梯从电视塔底层到顶层观光, 电梯于每个整点的第5分钟、25分钟和55分钟从底层起运行. 设某一游客在早八点的第 X 分钟到达底层候梯处, 且 , 求06XU该游客等候时间的期望.解: 用随机变量 表示游客的等候时间 (单位: 分钟), 则 ,其函数关系为Y()Yg5,05,22(),66.xyg由于 ,根据随机变量函
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