概率论自学报告.doc
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1、|上海大学 20132015 学年秋季学期本科生课程自学报告课程名称:概率论与随机过程课程编号:07275061报告题目:大数定理与中心极限定理的实际应用学生姓名:陈璐学 号:12122577任课教师:任艳丽成 绩: 评阅日期: |大数定理与中心极限定理的实际应用摘 要: 概率论是研究随机现象统计规律性的学科。而随机现象的规律性在相同的条件下进行大量重复试验时会呈现某种稳定性,而这种稳定性就是我们将要讨论的大数定律的客观背景。在数学的应用中,一般都是利用大数定律和中心极限定理一起来应用。本文根据在不同的条件下存在的大数定律和中心极限定理做了具体的分析,给出了一些相关应用,并进一步地阐明了大数定
2、律与中心极限定理在各分支学科中的重要作用和应用价值。一、自学小结1.7 随机变量的特征函数(1)随机变量的特征函数定义为 。由定义式可见,C(u)和 f(x)是一对傅立叶变换对,同理 C*(u)和 f*(x)也是一对傅立叶变换对。(2)特征函数的性质:两两独立的随机变量之和的特征函数等于各个随机变量的特征函数之积。随机变量的 N 阶原点矩可由特征函数的 N 次倒数求得。将特征函数在原点用台劳级数展开,该级数说明随机变量的密度函数可由它的各阶矩唯一地确定。1.8 大数定理与中心极限定理(1)大数定理:随着试验次数的增多,事件发生的频率逐渐趋于其概率;大量测量值的算术平均值随着测量次数的增加也具有
3、稳定性,这就是大数定律。数学表达式如下: ;其中 X1Xn 是相互独立的随机变量,且具有相同的 E(Xk)=u,D(Xk)= 。(2)中心极限定理:对于 , 两个随机变量,它们的分布函数 Fn(x)满足, 。其中,X1Xn 是相互独立的随机变量,且具有相同的 E(Xk)=u,D(Xk)= 。由式子可以看出当 n 很大的时候,Y(n)和 Z(n)近似服从正态分布 N(0,1)。由以上又可以推出对于任意区间(a,b有 ,其中 是具有参数为 n,p 的二项分布。|2.3 随机序列及其统计特性(1)定义:将连续随机过程 X(t)以 ts 为间隔进行等间隔抽样(记录),即可获得随机序列。对于固定的 j,
4、Xj 为一个随机变量,一个 N 点的随机序列可以看成是 N 维的随机向量,即TNX0101 (2)对 Xj 的统计特征描述:定义均值向量:01011,NNXTXmEM;自相关矩阵010,11,0,1,TNNrrXR;协方差矩阵0,11,01,TNNcEXCX-M自相关阵与协方差阵之间的关系:Cx=Rx-MxMxT(3)自相关阵的性质:对称性;半正定性,即对任意的 N 维随机向量 F,该式成立:FT Rx F=0。3.3 平稳随机序列的自相关阵与协方阵(1)定义:平稳随机序列的自相关阵与协方阵是 Toeplitz 矩阵,所谓 Toeplitz 矩阵,就是每一对角线上的元素都是相同的矩阵,其满足对
5、称性。(2)结论:只需要一行或一列元素就可以唯一确定自相关阵与协方阵。(3)自相关阵的正定形式:当自相关矩阵的维数过大时,我们求解问题就会变得复杂,这时可以将矩阵进行特征分解,将它表示成正则形式的对角化方法。其正则形式:R=Q Q(-1)5.5 随机序列通过离散线性系统 (1)对于一个离散系统而言,输出 y(n)=x(n)*h(n),其中 x(n)是输入,h(n)是系统传输函数。由 z 变换可得其模型传递函数为: ,这就是自回归滑动平均模型(ARMA)。|当 ai=0 时,有滑动平均模型(MA): ,当 b0=1 且 bl=0 时,有自回归模型(AR):其实滑动平均模型(MA)和自回归模型(A
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