《概率论与-数理统计重要公式.doc》由会员分享,可在线阅读,更多相关《概率论与-数理统计重要公式.doc(8页珍藏版)》请在得力文库 - 分享文档赚钱的网站上搜索。
1、|一、随机事件与概率公式名称 公式表达式德摩根公式 ,BABA古典概型 ()mPn包 含 的 基 本 事 件 数基 本 事 件 总 数几何概型 ,其中 为几何度量(长度、面积、体积)()()A求逆公式 )(1)(PP加法公式 P(AB)= P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)当 P(AB)0(A、B 互斥)时,P(AB)=P(A)+P(B)减法公式 P(A-B)=P(A)-P(AB), 时 P(A-B)=P(A)-P(B)BA条件概率公式乘法公式)()(APB( ()CBCA全概率公式 从原因计算结果1()()niiiPAP贝叶斯公式(逆概率公式)从结果找原因1()()iiiniiiB
2、A两个事件相互独立 ; ; ;()()PABPB()()APB)()(ABP|二、随机变量及其分布1、分布函数()()(),()()()()kkxPXxFxPXPaXbFaftd概率密度函数计算概率:2、离散型随机变量及其分布分布名称 分布律0-1 分布 Xb(1,p) 1,0,)1()( kpkXPk二项分布(贝努利分布)XB(n,p) nCnn ,泊松分布 Xp( )(),0,12!kPXek3、续型型随机变量及其分布分布名称 密度函数 分布函数均匀分布xU(a,b) 他,0,1)( bxabxf 0,()1,xaFxbb指数分布XE( )0,0)(xexf 0,0)(xexF正态分布xN
3、( )2,2()1()2fxex 2()1() d2txxet标准正态分布xN(0,1)21()xex 211()2txxed1)(dxf badxfa)()(|一般正态分布的概率计算公式分布函数对离散型随机变量对连续型随机变量分布函数与密度函数的重要关系:4、随机变量函数 Y=g(X)的分布离散型: ,()(),1,2jii jgxyPYyp连续型: 分布函数法,公式法 ()()()YXffhyxhy单 调h(y)是 g(x)的反函数三、多维随机变量及其分布1、离散型二维随机变量及其分布分布律: 联合分布函数(,),1,2ijijPXxYyp (,)iiijxyFXYp边缘分布律: (i i
4、ijjp ()j jijPYyp条件分布律: ,),12,ijijjpxYy (),12,ijjiXx联合密度函数2、连续型二维随机变量及其分布分布函数及性质分布函数: xyduvfyxF),(),(性质:2(,),1, ,Ffxyxy(,)(,)GPxyfxyd边缘分布函数与边缘密度函数分布函数: 密度函数:xXdvufF),()( vxfxfX),()(yYf, duyfyfY,条件概率密度xdtfXPxF)()()(k xdtfXPxF)()(10F,),(yYxXPyx),(f0),(f ,dyf)()()( aXPa )(1)()( aXPab|,yxfyfXY,)()( xyfxf
5、YYX,)()(3、随机变量的独立性随机变量 X、Y 相互独立 ,(,)XYFxyxF离散型: .ijijp ,连续型:(,)()Yfxyfxfy4、二维随机变量和函数的分布(卷积公式)离散型: 注意部分可加性()(,)ijkk ijxyzPZzPXxYy连续型: ,)(,)Zffdfzyd四、随机变量的数字特征1、数学期望定义:离散型 ,连续型1)(kkpxXEdxfXE)()(性质: , ,),C)(XEC)()(YEXYE,当 X、Y 相互独立时: (正对逆错)babaXE( ()(随机变量 g(X)的数学期望2、方差定义: 性质: , , 0)(CD)()(2XDabaX ),(2)(
6、)()( YXCovYDXY当 X、Y 相互独立时: Y3、协方差与相关系数协方差: ,当 X、Y 相互独立时:(,)()()ovEE 0),(YXov相关系数: ,当 X、Y 相互独立时: (X,Y 不相关),XYCvD 0Y协方差和相关系数的性质: ,)(),(Do,),(Covov,,),(),( 2121 vYvCov ),()YXabovdbcaXCCov(x,a)=0(a 为常数) , ,(22aba4、常见随机变量分布的数学期望和方差分布 数学期望 E(X) 方差 D(X)0-1 分布 ),1(pbp p(1-p)二项分布 nnp np(1-p)泊松分布 )(P均匀分布 ,baU
7、2ba12)(abjPijikkpxg)()(|正态分布 ),(2N2指数分布 e121五、大数定律与中心极限定理1、切比雪夫不等式若 对于任意 有,)(,)(2XDE0 2)()(XDEXP2、大数定律: 切比雪夫大数定律:若 相互独立,nX1且 ,则:2)(,)(iiiiXECi niiPnii XEX11 )(),伯努利大数定律:设 nA是 n 次独立试验中事件 A 发生的次数,p 是事件 A 在每次试验中发生的概率,则 ,有:0limAP辛钦大数定律:若 独立同分布,且 ,则1,nX )(iXE nPiiX13、中心极限定理列维林德伯格中心极限定理:独立同分布的随机变量 ,均值为 ,方
8、差为(,2)i,当 n 充分大时有:021()0,1nkYXnN 棣莫弗拉普拉斯中心极限定理:随机变量 ,则对任意 x 有:),(pB2lim()(1)txnXpPedx近似计算: 1) )nkbnanaX 六、数理统计的基本概念1、总体和样本的分布函数设总体 XF(x),则样本的联合分布函数 )(),(121knkxFxF2、统计量样本均值: ,样本方差:niiX1 niinii XXS12122 )()(样本标准差: ,样本 阶原点距:niiS12)(k ,1knAiik样本 阶中心距:k1,12,3nkkiiBX3、三大抽样分布|(1) 分布(卡方分布):设随机变量 XB(0,1) 且相
9、互独立,则称统计量2 (1,2)in服从自由度为 的 分布,记为221nXXn2(性质: 设 且相互独立,DE)(,)( ),(2nYm则 2mY(2) 分布:设随机变量 ,且 X 与 Y 独立,则称统计量: 服t )(),10(2nYNX nYXT从自由度为 的 分布,记为 。nt )(tT性质: ()0(1),(2)nETD 21lim()()xnfxe(3) 分布:设随机变量 ,且 与 独立,则称统计量F22(),()XmYXY服从第一自由度为 m,第二自由度为 n 的 分布,记为 ,性质:(,)XmnY F(,)Fmn设 ,则 。,)1(,)Fn七、参数估计1.参数估计定义:用 估计总
10、体参数 ,称 为 的估计量,相应的12(,)nXL12(,)nXL为总体 的估计值。12(,)nx2.点估计中的极大似然估计设 取自 的样本,设 或 , 求法步骤:12,nL(,)Xfx(,)Px似然函数: 1 1()(,) ,)n ni iifxL 连 续 型 或 离 散 型取对数: 或1ll,niiLf1l()l(,)niipx解方程: ,解得:1ll0,0kL212,(,)nknx 3.估计量的评价标准估计量的无偏性设 为未知参数 的估计量。若 E( )= ,则称 为 的无偏12(,)nxL估计量。|有效性设 和 是未知参数 的两个无偏估计量。12(,)nxL212(,)nxL若 ,则称
11、 有效。)D1比评价标准 一致性设 是 的一串估计量,如 ,有 则称 为 的一致n 0lim(|)0nnPn估计量(或相合估计量) 。正态总体中,样本均值 是 的无偏估计量X修正样本方差 是 的无偏估计量2S5. 区间估计 单正态总体参数的置信区间八、假设检验1.假设检验的基本概念条件估计参数枢轴量 枢轴量 分布 置信水平为 的置信区间1已知 2/XZn(0,1)N22,xzxznn未知 2/TS()t22(1),(1)SStt 未知 222(1)n2(1)n2212()(),nn 未知 2221niiX2()221122()(),nni ii iXX |基本思想假设检验的统计思想是小概率原理。小概率事件的概率就是显著性水平 ,常取 =0.05,0.01 或 0.10。基本步骤提出原假设 H0;选择检验统计量 ;对于 查表找分位数1(,)ngXL,使 ,从而定出拒绝域 W;1(,)nPgXWL由样本观测值计算统计量实测值 ;并作出判断:当实测值落入 W1,nx时拒绝 H0,否则认为接受 H0。第一类错误:当 H0为真时,而样本值却落入了拒绝域,应当否定 H0。 “弃真错误” P拒绝 H0|H0为真= 第二类错误:当 H1为真时,而样本值却落入了接受域,应接受 H0。 “取伪错误”P接受 H0|H1为真= 2.单正态总体均值和方差的假设检验
限制150内