高一函数单调性完整版.doc
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1、|函数的单调性学习目标(1)掌握函数的基本性质(单调性、最大值或最小值、奇偶性) ,能应用函数的基本性质解决一些问题。(2)从形与数两方面理解函数单调性的概念,初步掌握利用函数图象和单调性定义判断、证明函数单调性的方法(3)了解奇偶性的概念,回 会利用定义判断简单函数的奇偶性。重点与难点 (1)判断或证明函数的单调性;(2)奇偶性概念的形成与函数奇偶性的判断。学习过程 【学习导航】 知识网络 学习要求1. 从特殊到一般,掌握增函数、减函数、单调区间的概念;2. 会根据图像说出函数的单调区间,并能指出其增减性;3. 会用定义证明一些简单函数的单调性.自学评价观察函数 , 的图象xf)(2)(f从
2、左至右看函数图象的变化规律:(1). 的图象是_的,xf)(的图象在 y 轴左侧是_的, 的图象在 y 轴右侧是_的.2 2)(xf(2). 在 上,f(x)随着 x 的增大而 _; 在 xf)(),( 2)(xf0,(上,f(x)随着 x 的增大而_; 在 上,f (x)随着 x 的增大而2)(f),0(_.一、 函数的单调性1单调函数的定义(1)增函数:一般地,设函数 的定义域为 :如果对于属于 内某个区间上的任意()fxII两个自变量的值 、 ,当 时都有 ,那么就说 在这个区间1x21212()fxf()fx上是增函数。(2)减函数:如果对于属于 I 内某个区间上的任意两个自变量的值
3、、 ,当 时1212函数的单调性单调性的定义定义法证明函数的单调性增函数减函数单调区间xy0 xy0f)( 2)(f|都有 ,那么就说 在这个区间上是减函数。12()fxf()fx(3)单调性:如果函数 在某个区间是增函数或减函数。那么就说函数y在这一区间具有(严格的)单调性,这一区间叫做 的单调区间。y ()yfx 增函数、减函数的定义; 2、单调性的判定方法(1)定义法:判断下列函数的单调区间: 21xy(2)图像法:从左往右,图像上升即为增函数,从左往右,图像下降即为减函数。(3)复合函数的单调性的判断:设 , , , 都是单调函数,则 在)(xfy)(gu,ba,nmu()yfgx上也
4、是单调函数。,ba 若 是 上 的 增 函 数 , 则 与 定 义 在 上 的 函 数 的 单 调 性 相)(xfy,mn()yfgx,ba)(xu同 。 若 是 上 的 减 函 数 , 则 与 定 义 在 上 的 函 数 的 单 调 性)(f,()f,)(g相 同 。即复合函数的单调性:当内外层函数的单调性相同时则复合函数为增函数;当内外层函数的单调性相反时则复合函数为增减函数。也就是说:同增异减(类似于“负负得正” )练习:(1)函数 的单调递减区间是 ,单调递增区间为 24xy(2) 的单调递增区间为 5123、函数单调性应注意的问题:单调性是对定义域内某个区间而言的,离开了定义域和相应
5、区间就谈不上单调性增函数: )(2121xffx减函数: )(2121xffxy0 x1 x2f(x1) f(x2)xy0 x1 x2f(x1) f(x2)|对于某个具体函数的单调区间,可以是整个定义域(如一次函数),可以是定义域内某个区间(如二次函数),也可以根本不单调(如常函数)函数在定义域内的两个区间 A,B 上都是增(或减)函数,一般不能认为函数在 上是增(或减)函数例题精讲;二函数单调性的证明例题分析例 1,证明:函数 在 上是减函数。1()fx(0,)证明:设任意 , (0,+)且 ,1212x则 ,12()ff由 , (0,+) ,得 ,又 ,得 ,1x21202x10x ,即(
6、)ff()fxf所以, 在 上是减函数。,说明:一个函数的两个单调区间是不可以取其并集,比如: 不能说xy是原函数的单调递减区间;)0,(),(练习:1 根据单调函数的定义,判断函数 的单调性。3()1fx2根据单调函数的定义,判断函数 的单调性f例2,,下图是定义在区间-5,5上的函数 ,)(xfy根据图象说出函数的单调区间,以及在每个区间上,它是增函数还是减函数?思维点拔: 观察曲线升、降部分的横坐标所在的区域.,例 3, 物理学中的玻意耳定律 (k 为正常数)告诉我们,对于一定量的气体,当其Vp体积V 减小时,压强 p 将增大, 试用函数的单调性证明之.xy1 2 3 4 5-2-4 -
7、1-3-5123123O|思维点拔: 只需证明函数 在区间 上是减函数即可.Vkp,0三,函数单调性的应用例 4f(x) 是定义在( 0,) 上的增函数,且 f( ) = f(x)f(y) (1)求 f(1)的值(2)若 f(6)= 1,解不等式 f( x3 )f( ) 2 1.解析:在等式中 ,则 f(1)=00y令在等式中令 x=36,y=6 则 .2)6(3),6()( ff故原不等式为: 即 fx(x3)f(36),13(xff又 f(x)在(0,)上为增函数,故不等式等价于: .2315036)(01xx例 5函数 f(x)=x 31 在 R 上是否具有单调性?如果具有单调性,它在
8、R 上是增函数还是减函数?试证明你的结论.解析: f(x)在 R 上具有单调性,且是单调减函数,证明如下:设 x1、x 2(,), x1x 2 ,则 f(x1)=x 131, f(x2)=x 231f(x1)f (x2)=x23x 13=(x2x 1)(x12x 1x2x 22)=(x2x 1)( x1 )2 x22 4x 1x 2,x 2x 10 而(x 1 )2 x220,f(x 1)f(x 2)4函数 f(x)= x31 在(,)上是减函数例 6试讨论函数 f(x)= 在区间1,1上的单调性2.解析: 设 x1、x 21,1且 x1x 2,即1x 1x 21f(x1)f (x2)= =
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