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1、|第二章 一元函数微分学2.1 导数与微分一、主要内容导数的概念1导数: 在 的某个邻域内有定义,)(xfy0xffxxx )()(limli 00000)()(li0xffx 00 )(0xx dyfy 2左导数: 00)()(lim)(0 xffxfx 右导数: 00)()(li)(0 xfffx 定理: 在 的左(或右)邻域上连续在)(xf0其内可导,且极限存在;则:)(lim)(00 xfxfx |(或: ))(lim)(00 xfxfx 3.函数可导的必要条件:定理: 在 处可导 在 处连续)(xf0)(xf04. 函数可导的充要条件:定理: 存在)(00xfyx,)()(00ff且
2、存在。5.导函数: ),(xfy ),(ba在 内处处可导。 y )(xf),(ba)(0xf )(xf6.导数的几何性质: 是曲线 上点 )(0xf )(xfyx处切线的斜率。 o x0 x0,M求导法则1.基本求导公式:2.导数的四则运算: 1o vuvu)(2o (3o 2vuvu )0(v3.复合函数的导数:|)(),(),( xfyxufy ,或 dxuydx)()()( xff 注意 与 的区别:)(xf )(f表示复合函数对自变量 求导;)(fx表示复合函数对中间变量 求导。)(xf )(4.高阶导数: )(),(),()3xfxff 或)4,2(,)()()1() nfxfnn
3、函数的 n 阶导数等于其 n-1 导数的导数。微分的概念1.微分: 在 的某个邻域内有定义,)(xf)(xoxAy其中: 与 无关, 是比 较高)(x)(x阶的无穷小量,即:0)(lim0xox则称 在 处可微,记作:)(fyxAd|dxAdy)( )0(x2.导数与微分的等价关系:定理: 在 处可微 在 处可导,)(xf )(f且: )()(xAxf3.微分形式不变性:dufdy)(不论 u 是自变量,还是中间变量,函数的微分 都具有相同的形式。y一、 例题分析例 1.设 存在,且 ,)(xf1)()2(lim000 xxfxfx则 等于)(0fA.1, B.0, C.2, D. . 21解
4、: xxfxfx )()(lim0001)(22)()(li2 0000 xfxffx (应选 D)21)(0xf|例 2设 其中 在 处),()()(22xaxf )(xa连续;求 。)(af解: axfffax)()(lim)(axaax )()()()(li 2222 )()(lim)()(lim xaxaxaxax )(2误解: )()()()(22xaxxf )(2)()()(2)( 22 aaaf结果虽然相同,但步骤是错的。因为已知条件并没说 可导,所以)(x不一定存在。)(x例 3设 在 处可导,且 ,求:)(f12)1(f1)34lim1xx|解:设 )4(,3431txt 当
5、 时,1xt1)4(lim1)()34(lim311 tffxff tx623)1(31)()(li31 ftfft例 4设 是可导的奇函数,且 ,)(xf 0)(0kxf则 等于:)(0fA. , B. , C. , D. . kkk1解: )()(xfxf )()()( xff xfx (应选 A)kf )()(00(结论:可导奇函数的导数是偶函数;可导偶函数的导数是奇函数。 )|例 5设 在 处是否可导?12)(2xxf 1x解法一: )1(1xf 2)1(lim)(lim211 fxx )(li)(li 11 xfxx 在 处连续)(f 12lim1)()(lim)1( 211 xxf
6、ff xx2)(li1li 121 xxx 2lim12lim1)()(lim)( 111 xxxxfff2)()()1( fff 在 处可导。xf1解法二:22)(1xf 2)1(lim)(lim211 fxx| 2)(lim)(lim11 xxfxx 在 处连续)(f当 时,1x 12)(xxf2lim)(lim)( 11 ff xxli)(li)( 11 xxff2)()()1( fff 在 处可导。xf例 6设 01)(2xaebxf求 a,b 的值,使 处处可导。)(xf解: 的定义域:)(xf ),(当 时,0是初等函数,在 内有定义,bxf1)( )0,(不论 a 和 b 为何值
7、, 在 内连续;)(f),(当 时,0x是初等函数,在 内有定义,xaef2)(),0(不论 a 和 b 为何值, 在 内连续;)(f),(|1)1()0( 0xbf)(lim)(lim00 bxfxxaaef xxx 200li)(li只有当 时, 在 处连续;1a)(f0x当 时, 处处连续;)(xf当 时,0a 可 导可 导0202)( 1 xebxaebxf xxabxff xx 00lim)(lim)0(22li)(li)( 00 xxx eff只有当 时, 在 处可导;2b)(f当 , 处处可导。,1a)(xf例 7求下列函数的导数 )21ln(cosxy|解: xvuy 21lncos dxvduyx )21ln(si2121sin xxv )arctn(ta2xy解: )rt(t2 )(tan)(tan12)(tan)(tan1 222 xxxx xxx442cossin2i)(tan1sec2xxy2tan0解:)2tan(10ln)1( 2tan2tan xxxxx )sec(ta0l 2taxxx ( 为常数)222ryxr
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