构造全等三角形种普通方法.doc
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1、|名名师堂 校区地址: 南充 市顺庆区吉隆街 咨询电话:2244028 优学小班提分更快、针对更强、时效更高 构造全等三角形种常用方法在证明两个三角形全等时,选择三角形全等的五种方法(“SSS”,“SAS”,“ASA”,“AAS”,“HL”)中,至少有一组相等的边,因此在应用时要养成先找边的习惯。如果选择找到了一组对应边,再找第二组条件,若找到一组对应边则再找这两边的夹角用“SAS”或再找第三组对应边用“SSS ”;若找到一组角则需找另一组角(可能用 “ASA”或“AAS”)或夹这个角的另一组对应边用“SAS”;若是判定两个直角三角形全等则优先考虑“HL”。上述可归纳为:()()SAS用用用用
2、 或搞清了全等三角形的证题思路后,还要注意一些较难的一些证明问题,只要构造合适的全等三角形,把条件相对集中起来,再进行等量代换,就可以化难为易了下面举例说明几种常见的构造方法,供同学们参考1截长补短法例 1如图(1)已知:正方形 ABCD 中,BAC 的平分线交 BC 于 E,求证:AB+BE=AC解法(一)(补短法或补全法)延长 AB 至 F 使 AF=AC,由已知AEFAEC,F=ACE=45,BF=BE,AB+BE=AB+BF=AF=AC解法(二)(截长法或分割法)在 AC 上截取 AG=AB,由已知 ABEAGE,EG=BE, AGE= ABE,ACE=45, CG=EG,AB+BE=
3、AG+CG=AC2平行线法(或平移法)若题设中含有中点可以试过中点作平行线或中位线,对 Rt,有时可作出斜边的中线例 2ABC 中,BAC=60,C=40AP 平分BAC 交 BC 于 P,BQ 平分ABC 交 AC 于Q, 求证:AB+BP=BQ+AQ 证明:如图(1),过 O 作 ODBC 交 AB 于 D,ADO=ABC=1806040=80 ,又AQO= C+ QBC=80,ADO=AQO,又DAO=QAO,OA=AO ,ADOAQO,OD=OQ,AD=AQ ,又ODBP,PBO=DOB,又PBO=DBO ,DBO=DOB,BD=OD, AB+BP=AD+DB+BP=AQ+OQ+BO=
4、AQ+BQ 说明:本题也可以在 AB 截取 AD=AQ,连 OD,AB CPQD OOAB CPQ D图(2)AB CPQD E图(3)OAB CDFEG图(1)|构造全等三角形,即“截长补短法” 本题利用“平行法”解法也较多,举例如下: 如图(2),过 O 作 ODBC 交 AC 于 D,则ADOABO 来解决 如图(3),过 O 作 DEBC 交 AB 于 D,交 AC 于 E,则ADOAQO,ABO AEO 来解决 如图(4),过 P 作 PDBQ 交 AB 的延长线于 D,则APD APC 来解决 如图(5),过 P 作 PDBQ 交 AC 于 D,则ABP ADP 来解决(本题作平行
5、线的方法还很多,感兴趣的同学自己研究)3旋转法对题目中出现有一个公共端点的相等线段时,可试用旋转方法构造全等三角形。例 3 如图 3 所示,已知点 、 分别在正方形 的边EFABCD与 上,并且 平分 ,求证: 。BCDADFE分析:本题要证的 和 不在同一条直线上,因而要设法B将它们“组合”到一起。可将 绕点 旋转 到 ,90G则 , = ,从而将 转化为线段FGEFBE,再进一步证明 即可。证明略。EA4倍长中线法题中条件若有中线,可延长一倍,以构造全等三角形,从而将分散条件集中在一个三角形内。例 4如图(7)AD 是ABC 的中线,BE 交 AC 于 E,交 AD 于 F,且 AE=EF
6、求证:AC=BF证明:延长 AD 至 H 使 DH=AD,连 BH,BD=CD,BDH=ADC,DH=DA,BDHCDA,BH=CA,H=DAC,又AE=EF,DAC=AFE,AFE=BFD,AFE= 图(7)BFD=DAC=H,BF=BH,AC=BF 5、过手练习:(1)已知:E 是正方形 ABCD 的边长 AD 上一点,BF 平分EBC,交 CD于 F,求证 BE=AE+CF. EAB CDFHAB CPQ图(4)DOAB CPQ图(5)DO图 3CBAEFAB CDEF|(2).如图,ABD 和ACE 是ABC 外两个等腰直角三角形,BAD=CAE=90 0.(1)判断 CD 与BE 有
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