函数恒成立问题——参变分离法.doc
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1、|学 科 数学 课题名称 函数恒成立问题参变分离法 周次教学目标教学重难点函数恒成立问题参变分离法一、基础知识:1、参变分离:顾名思义,就是在不等式中含有两个字母时(一个视为变量,另一个视为参数) ,可利用不等式的等价变形让两个字母分居不等号的两侧,即不等号的每一侧都是只含有一个字母的表达式。然后可利用其中一个变量的范围求出另一变量的范围2、如何确定变量与参数:一般情况下,那个字母的范围已知,就将其视为变量,构造关于它的函数,另一个字母(一般为所求)视为参数。3、参变分离法的适用范围:判断恒成立问题是否可以采用参变分离法,可遵循以下两点原则:(1)已知不等式中两个字母是否便于进行分离,如果仅通
2、过几步简单变换即可达到分离目的,则参变分离法可行。但有些不等式中由于两个字母的关系过于“紧密” ,会出现无法分离的情形,此时要考虑其他方法。例如: , 等21logaxx1axe(2)要看参变分离后,已知变量的函数解析式是否便于求出最值(或临界值) ,若解析式过于复杂而无法求出最值(或临界值) ,则也无法用参变分离法解决问题。 (可参见”恒成立问题最值分析法“中的相关题目)4、参变分离后会出现的情况及处理方法:(假设 为自变量,其范围设为 , 为函数;xDfx为参数, 为其表达式)aga(1)若 的值域为 fx,mM ,则只需要,Dfmingafx,则只需要xgxi ,则只需要,afmax=f
3、M|,则只需要,xDgafxmax=gfM ,则只需要,则只需要,xfxmaxf ,则只需要Dgaing,则只需要,xfxmifx(2)若 的值域为 f,mM ,则只需要,xDgafxga,则只需要 (注意与(1)中对应情况进行对比) ,则只需要,xfx,则只需要 (注意与(1)中对应情况进行对比)DgagaM ,则只需要 (注意与(1)中对应情况进行对比),xfx,则只需要 ,则只需要 (注意与(1)中对应情况进行对比),xDgafxgam,则只需要5、多变量恒成立问题:对于含两个以上字母(通常为 3 个)的恒成立不等式,先观察好哪些字母的范围已知(作为变量) ,那个是所求的参数,然后通常有
4、两种方式处理(1)选择一个已知变量,与所求参数放在一起与另一变量进行分离。则不含参数的一侧可以解出最值(同时消去一元) ,进而多变量恒成立问题就转化为传统的恒成立问题了。(2)将参数与变量进行分离,即不等号一侧只含有参数,另一侧是双变量的表达式,然后按所需求得双变量表达式的最值即可。二、典型例题:例 1:已知函数 ,若 恒成立,则实数 的取值范围是_xfea()23fxa|思路:首先转化不等式, ,即 恒成立,观察不等式 与 便()xfea23xaeaxe于分离,考虑利用参变分离法,使 分居不等式两侧, ,若不等式恒成, 2xxe立,只需 ,令 (解析式可2max3xae2233xge看做关于
5、 的二次函数,故配方求最值) ,所以x max答案: 3例 2:已知函数 ,若 在 上恒成立,则 的取值范围是lnafx2fx1,a_思路:恒成立的不等式为 ,便于参数分离,所以考虑尝试参变分离法2lnax解: ,其中233lnllnaxx1,x只需要 ,令3maxl3lg(导函数无法直接确定单调区间,但再求一次导即可将 变为 ,所以二阶导 2()1lngx lnx1函数的单调性可分析,为了便于确定 的符号,不妨先验边界值)gx, , (判断单调性时一定要先看定义域,有可能会简12g2160化判断的过程)在 单调递减, 在 单调递减x,1()gxgx1,1ga答案: a注意:求导数的目的是利用
6、导函数的符号得到原函数的单调性,当导函数无法直接判断符号时,可根据导函数解析式的特点以及定义域尝试在求一次导数,进而通过单调性和关键点(边界点,零点)等确定符号。|例 3:若对任意 ,不等式 恒成立,则实数 的范围是 xR2334xaa思路:在本题中关于 的项仅有 一项,便于进行参变分离,但由于 ,则分离参数,a xR时要对 的符号进行讨论,并且利用 的符号的讨论也可把绝对值去掉,进而得到 的范围,xx a,当 时, ,而2 2333440min3214ax;当 时,不等式恒成111xxx0立;当 时, ,而0max324a331244x综上所述:21a1答案: 注意:(1)不等式含有绝对值时
7、,可对绝对值内部的符号进行分类讨论,进而去掉绝对值,在本题中对 进行符号讨论一举两得:一是去掉了绝对值,二是参变分离时确定不等号的是否x变号。(2)在求 解析式最值时根据式子特点巧妙使用均值不等式,替代了原有的构造函数求导出最值的方法,简化了运算。(3)注意最后确定 的范围时是三部分取交集,因为是对 的取值范围进行的讨论,而无论ax取何值, 的值都要保证不等式恒成立,即 要保证三段范围下不等式同时成立,所以取交x a集。例 4:设函数 ,对任意的 恒2()1fx23,4()1)4(2xxfmfxfm成立,则实数 的取值范围是_m思路:先将不等式进行化简可得: ,即2 22 214141xxm,
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- 函数 成立 问题 分离法
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