函数图像及其-变换解读.doc
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1、|函数图像及其变换上海师范大学附属外国语中学 李庆兵函数是整个高中数学的重点和难点,高中阶段对函数性质的研究往往是通过研究函数图像及其变换得到的,所以函数图像及其变换也就成为高考的固定考点。历年高考考试大纲中都明确要求,学生要“会运用函数图像理解和研究函数的性质” ,并且与前几年比较可以发现,近几年高考对于函数图像方面的考查已经不再局限于对几个常见函数本身的单一的考查,而是结合函数的运算,更为深刻地考查函数与函数、函数与方程、函数与不等式、函数与其他学科或现实生活等方面的联系。这就要求我们不仅要熟练掌握一些基本函数的图像特征及函数图像变换的几种常见方法,而且要会灵活运用。下面笔者就结合近几年的
2、一些高考试题,谈一些函数图像及其变换和应用方面的问题,希望能引起正在忙于备考的高三教师和学子们的重视,并给他们带来一些启发。(一)平移变换及其应用:函数 的图像可以看作是由函数 的图像先向左 0)或0)(yxfy )(xfy(x向右( 0)平移 个单位,再向上 0)或向下( 0)平移 个单位得x| ( |y到。如:例 1、 (2008 上海理 11)方程 的解可视为函数 的图象与12x2x函数 的图象交点的横坐标。若方程 的各个实根xy 044a所对应的点 均在直线 的同侧,则实数)4(,21k ),21)(,kixi xy的取值范围是 。ay3xP( 图一 ) ( 图二 )分析:由题意,方程
3、 的解可视为函数 的图象与函数044axaxy3的图象交点的横坐标。这些交点可以看作是由函数 的图象经过上下平移得到,xy4由图(1)可知,函数 与函数 的图象分别交于点 P、Q ,且点 P 在直线上方,3xyxyxy40QAB0xABCxy|点 Q 在直线下方,要使得方程 的各个实根 所对应的044ax )4(,21kxx点 均在直线 的同侧,只须将函数 图像上下平移,将点),21)(4,kixiy3yQ 移至函数 图像与直线 交点 A 左侧或将点 P 移至函数 图像与yx)2,(xy4直线 交点 B 右侧即可。将点 A 与点 B 坐标分别代入方程 解得x)2,( a3或 。从而可得实数 的
4、取值范围是 6 或 6。6aaa(二)伸缩变换及其应用: 函数 的图像可以看作是由函数 的图像先将横坐标伸长 1))(bxfy )(xfy|(b或缩短 1)到原来的 倍,再把纵坐标伸长 1)或缩短 1)到原来的| |1|a|(a倍即可得到。如:|a例 2、 (2008 上海文 11)在平面直角坐标系中,点 的坐标分别为CBA,。如果 是ABC 围成的区域(含边界)上的点,那么当)6,(4),10( ),(yxP取得最大值时,点 P 的坐标是 。xy分析:由 变形可得 ,则问题可转化为当函数 的图象与ABC 围xy成的区域(含边界)有公共点时求 的最大值的问题。由函数图像伸缩变换的规律可知,的值
5、越大,则函数 图象上点的横纵坐标越大,即图像整体越向上移动,由此可以xy判定,当 取得最大值时,函数 的图象与ABC 的边 BC 相切或过经点 C。下面求点 P 的坐标。法一:由线段 BC 与函数的解析式联立方程组可得 消去).42(10,xyx得方程 ,由判别式=0 解得 ,此时 ,从而得点y012x25。即所求点 P 的坐标是 。)5,(P)5,2(法二:线段 BC 的方程为: ,)40(1xyx则 ,当且仅当 ,即)(212xy 52yx|所以所求点 P 的坐标是 。.5,2yx )5,2((三)对称变换:函数当中,图像关于某点或某条直线对称的情况较多,除函数的奇偶性、互为反函数的两函数
6、与对称性有关之外,还经常会出现其他一些情况,这就需要我们能够掌握“以点代线”的数学方法对具体情况进行分析。常见情况有以下几种。1、关于特殊直线的轴对称变换: ;)(轴 xfyxfy )(; (两者互为反函数) ;)(轴 xfyxfy )( )(y2、关于特殊点的对称变换: ;)(),原 点 ( xfxfy 0)(3、局部对称变换: 偶 函 数 ) ,)( (|f;)( |)(xfyxfy注:以上为两个函数图像之间的关系。4、自身对称变换:若函数 y=f(x)满足则函数 y=f(x)的图像关于直线 x=a 对称。) ,()(或 affxafxf )2()特别地,当 时,函数 为偶函数。0)(若函
7、数 y=f(x)满足 ,则函数 y=f(x)的图像关于原点成中心对称。)(xff即函数 为奇函数。)(f例 3、 (2005 上海理 16)设定义域为 的函数 则关于 x 的R,1,0|lg)(xf方程 有 7 个不同实数解的充要条件是( )0)(2cxbffA、 0 且 0 B、 0 且 0 C、 0 且 D、 且 。bcbc0bc( 图三 ) ( 图四 )xy22cc0xy1)1(|lgx)(|1|lgxy20by|分析:函数 的图像是由函数 的图像先向右平移一个)1(|lgxy |lgxy单位,得到函数 的图像,再将函数 的图像位于| )1(|轴上方部分保持不变,下方的部分关于 轴通过局
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- 函数 图像 及其 变换 解读
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