讲座多元微分学.doc
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1、|第八章 多元函数微分学第一节 基本概念、定理与公式一、二元函数的定义及定义域1 二元函数的定义定义 1 设 , , 是三个变量如果当变xyz量 , 在在一定范围 内任意取定一对数值时,xyD变量 按照一定的法则 总有确定的数值与它们对zf应,则称变量 是变量 , 的二元函数,记为zxy.其中 , 称为自变量, 称为因变量.(,)zfxy z自变量 , 的取值范围 称为函数的定义域.D二元函数在点 所取得的函数值记为0,xy, 或0xyz0(,)xyz0(,)f2 二元函数的定义域二元函数的定义域一般为平面区域上的点集二元函数的定义域较复杂,它可以是一个点,也可能是一条曲线或几条曲线所围成的部
2、分平面,甚至可能是整个平面整个平面或由曲线围成的部分平面称为区域;围成区域的曲线称为该区域的边界;边界上的点称为边界点,边界内的点称为内点不包括边界的区域称为开区域,连同边界在内的|区域称为闭区域,部分包括边界的区域称为半开半闭区域能用封闭曲线围成的区域称为有界区域,反之称为无界区域开区域如: 2(,)14xyxyxo xyo闭区域 如: 22(,)14xyxy注:和一元函数一样,二元和二元以上的函数也只与定义域和对应关系有关, ,与用什么字母表示自变量与因变量无关例 1 求下列函数的定义域,并画出的图形(1) (2)2ln1zxyarcsin()zxy解(1) 要使函数有意义,应有 即221
3、0x,定义域为有界开区域 21xy22(,)1yy(2)要使函数有意义,应有 ,即1x|11xy定义域为无界闭区域 (,)11xyxy3 二元函数的几何意义设 是二元函数 的定义域 内的(,)Pxy(,)zfxyD任一点,则相应的函数值为 ,有序数组 ,x, 确定了空间一点 ,称点集yz (,)Mxyz为二元函数的图形. 二(,)(,)(,)xfxyD元函数 的图形通常是一张曲面.,zf注:和一元函数一样,二元和二元以上的函数也只与定义域和对应关系有关,与用什么字母表示自变量与因变量无关.二、二元函数的极限与连续1二元函数的极限以点 为中心, 为半径的圆内所有点的00(,)Pxy|集合 称为点
4、 的 邻域,2200(,)()xyxy0P记作 0UP定义 2 设二元函数 在点(,)zfxy的某一邻域内有定义(点 可以除外),00(,)xy 0P点 是该领域内异于 的任意一点如果当点P0沿任意路径趋于点 时,函数(,)xy 0(,)xy总无限趋于常数 ,那么称 为函数f AA当 时的极限,记为(,)zxy0(,)(,)xyxy或 0limxyfA0(,)(,)lim(,)xyyfx说明:(1)定义中 的方式可能是多种多0P样的,方向可能任意多,路径可以是千姿百态的,所谓极限存在是指当动点从四面八方以可能有的任何方式和任何路径趋于定点时,函数都趋于同一常数.(2)倘若沿两条不同的路径, 不
5、相等,0lim(,)xyfy则可断定 不存在,这是证明多元函数极限0lim(,)xyfy不存在的有效方法(3)二元函数的极限运算法则与一元函数类似,如局部有界性、局部保号性、夹逼准则、无穷小、等价无穷小代换等.|例 2 求极限20sin()lmxyy解 20sin()lxy220sin()lxyyx其中 21x20sin()lm0xyy例 3 证明 不存在 3620lixy证明:设 ,则3k其值随 的不同而变化,3620limxy6220li1xy kxk故极限不存在确定极限不存在的方法:(1)令点 沿(,)Pxy趋向于 ,若极限值与 有关,则ykx00(,)Pxyk在点 处极限不存在;(,)
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