近世代数练习学习题题库-.doc
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1、|1 第一章 基础知识1 判断题:1.1 设 与 都是非空集合,那么 。 ( )ABBAxB且1.2 AB = BA ( )1.3 只要 是 到 的一一映射,那么必有唯一的逆映射 。 ( )f 1f1.4 如果 是 A到 的一一映射,则 (a)=a。( )1.5 集合 A到 B的可逆映射一定是 A到 B的双射。 ( )1.6 设 、 、 都是非空集合,则 到 的每个映射都叫作二元运算。 ( )DD1.7 在整数集 Z上,定义“ ”:a b=ab(a,bZ),则“ ”是 Z的一个二元运算。 ( )1.8 整数的整除关系是 Z的一个等价关系。( ) 2 填空题:2.1 若 A=0,1 , 则 AA
2、= _。2.2 设 A = 1,2,B = a,b,则 AB =_。2.3 设=1,2,3 B=a,b,则 A B=_。2.4 设 A=1,2, 则 AA=_。2.5 设集合 ; ,则有 1,02,B。2.6 如果 是 与 间的一一映射, 是 的一个元,则 f aAaf1。2.7 设 A =a 1, a2,a8 ,则 A上不同的二元运算共有 个。2.8 设 A、B 是集合,| A | B |3,则共可定义 个从 A到 B的映射,其中有 个单射,有 个满射,有 个双射。2.9 设 A是 n元集,B 是 m元集,那么 A到 B的映射共有_个.2.10 设 A=a,b,c,则 A到 A的一一映射共有
3、_个. 2.11 设 A=a,b,c,d,e,则 A的一一变换共有_个.2.12 集合 的元间的关系叫做等价关系,如果适合下列三个条件:_。2.13 设 A =a , b, c ,那么 A的所有不同的等价关系的个数为_。2.14 设是集合 的元间的一个等价关系,它决定 的一个分类: 是两个等Aba,价类。则 _。b2.15 设集合 有一个分类,其中 与 是 的两个类,如果 ,那么AiAj ji_。jiA2.16 设 A =1, 2, 3, 4, 5, 6 ,规定 A的等价关系如下:a b 2|a-b,那么 A的所有不同的等价类是_ 。|2.17 设 M是实数域 R上的全体对称矩阵的集合,是 M
4、上的合同关系,则由给出 M的所有不同的等价类的个数是_。2.18 在数域 F上的所有 n阶方阵的集合 M (F)中,规定等价关系 AB 秩(A)=n :秩(B),则这个等价关系决定的等价类有_个。2.19 设 M100 (F)是数域 F上的所有 100阶方阵的集合,在 M100 (F)中规定等价关系如下:AB 秩(A)=秩(B),则这个等价关系所决定的等价类共有_个。2.20 若 M=有理数域上的所有 3级方阵,A,BM,定义 AB秩(A)=秩(B),则由”确定的等价类有_个。3 证明题:3.1 设 是集合 A到 B的一个映射,对于 ,规定关系“”:Aba,证明:“”是 A的一个等价关系)(b
5、ab3.2 在复数集 C中规定关系“”: 证明:“”是 C的一个等价|关系 3.3 在 n阶矩阵的集合 中规定关系“”: 证明:“”)(FMn |BA是 的一个等价关系)(FM3.4 设“”是集合 A的一个关系,且满足:(1)对任意 ,有 ;(2)对aa任意 ,若 就有 证明:“”是 A的一个等价关系cba, ,cab3.5 设 G是一个群,在 G中规定关系“”: 存在于 ,使bGg得 证明: “”是 G 的一个等价关系g1第二章 群论1 判断题:2.1 群的定义.1.1 设非空集合 G关于一个乘法运算满足以下四条:(A) G对于这个乘法运算都是封闭的;(B)a,b,cG,都有(ab)c=a(
6、bc)成立;(C) 存在 G,使得aG,都有 ea=a成立;(D)aG,都存在 aG,使得 aa=e成立。则 G关于这个乘法运算构成一个群。 ( )|1.2 设非空集合 G关于一个乘法运算满足以下四条:A)G 对于这个乘法运算是封闭的;B) a,b,c G,都有(ab)c=a(bc)成立;C)存在 e G,使得 a G,都有 ae =a成立;r rD) a G,都存在 a G,使得 a a=e 成立。11r则 G关于这个乘法运算构成一个群。 ( )1.3 设 G是一个非空集合,在 G中定义了一个代数运算,称为乘法,如果(1)G 对乘法运算是封闭的(2)G 对乘法适合结合律(3)G 对乘法适合消
7、去律,则 G构成群。 ( )1.4 设 G是一个有限非空集合,G 中定义了一个代数运算称为乘法,如果(1). G对乘法运算是封闭的;(2). 乘法适合结合律与消去律,则 G对所给的乘法构成一个群。( )1.5 实数集 R关于数的乘法成群。 ( )1.6 若 G是一个 n阶群,aG,|a|表示 a的阶,则|a|。( ) 1.7 若 |a|=2,|b|=7,ab=ba,则|ab|=14。1.8 设 Q为有理数集,在 Q上定义二元运算“ ”,a b=a+b+ab( ) ,(,Qba则构成一个群。 ( )2.2 变换群、置换群、循环群1.9 一个集合上的全体一一变换作成一个变换群。 ( )1.10 一
8、个集合 A的所有变换作成一个变换群 G.( )1.11 集合 A的所有的一一变换作成一个变换群。 ( )1.12 素数阶群都是交换群。 ( )1.13 p(p 为质数)阶群 G是循环群 ( )1.14 素数阶的群 G一定是循环群.( )1.15 3次对称群 是循环群。 ( )3S1.16 任意群都同构于一个变换群 ( )1.17 有限群都同构于一个置换群。( )1.18 任何一个有限群都与一个循环群同构。 ( )1.19 在 5次对称群 中,(15)(234)的阶是 6.( ) 5S1.20 在 4次对称群 S4中, (12) (324)的阶为 6。 ( )1.21 在 中,(12)(345)
9、的阶是 3。 ( )51.22 任意有限群都与一个交换群同构。 ( )1.23 因为 22阶群是交换群,所以 62阶群也为交换群。 ( )1.24 6阶群是交换群。 ( ) 。1.25 4阶群一定是交换群。 ( )1.26 4阶群一定是循环群。 ( )1.27 循环群一定是交换群。 ( )1.28 设 G是群,a, bG, |a|=2, |b|=3, 则|ab|=6。 ( )|1.29 14阶交换群一定是循环群。 ( )1.30 如果循环群 中生成元 的阶是无限的,则 与整数加群同构。 ( )aGG1.31 有理数加群 Q是循环群。 ( )1.32 若一个循环群 G的生成元的个数为 2,则 G
10、为无限循环群。 ( )2.3 子群、不变子群。1.33 若 H是群 G的一个非空子集,且 a,b H都有 ab H成立,则 H是 G的一个子群。 ( )1.34 若 H是群 G的一个非空有限子集,且 a,b H都有 ab H成立,则 H是 G的一个子群。 ( )1.35 循环群的子群也是循环群。 ( )1.36 如果群 的子群 是循环群,那么 也是循环群。 ( )G1.37 一个阶是 11的群只有两个子群。 ( )1.38 有限群 中每个元素 的阶都整除群 的阶。 ( )a1.39 设 G是一个 n阶群,m|n,则 G中一定有 m阶子群存在。 ( )1.40 若 G是 60阶群,则 G有 14
11、阶子群。( )1.41 设 G是 60 阶群,则 G有 40阶子群。 ( )1.42 阶为 100的群一定含 25阶元。 ( )1.43 阶为 100的群一定含 25阶子群。 ( )1.44 阶为 81的群 G中,一定含有 3阶元。 ( )1.45 设 H是群 G的一个非空子集,则 。 ( )HH11.46 设 H是群 G的一个非空子集,则 。 ( )G1.47 群 的子群 是不变子群的充要条件为 。 ( ghg1;,)1.48 群 的一个子群 元素个数与 的每一个左陪集 的个数相等. ( )HaH1.49 指数为 2的子群不是不变子群。 ( )1.50 若 N H,H G,则 N G。( )
12、1.51 若 N是群 G的不变子群,N 是群 N的不变子群,则 N是 G的不变子群。( )1.52 设 HG,KG,则 HKG。 ( )1.53 若 N N,H G那么 NH G。 ( ) 2.4 商群、群的同态定理。1.54 群之间的同态关系是等价关系。 ( )1.55 循环群的商群是循环群。 ( )1.56 设 f: 是群 到群 的同态满射,a ,则 a与 f (a)的阶相同。 ( GG)|1.57 设 G是有限群,HG, 则 。 ( )|HG1.58 若 是群 G到 的同态满射,N 是 G的一个不变子群,则 (N)是 的不变G子群,且 。 ( )1.59 设 f 是群 G到群 的同态映射
13、,H G,则 f(H) 。 ( )1.60 设 f 是群 G到群 的同态映射, HG 则 f(H) 。 ( )1.61 若是群 G到的一个同态满射,N 是 G的一个不变子群,则(N)是的不变子群,且。1.62 若是群 G到的同态满射,是的一个不变子群,()表示 的原象,则()是 G不变子群,且 。N( )1.63 设 G和 都是群, , , N= ( ),则 N G,且1。 ( )N/2 填空题:2.1 在群 G中,a,bG,a 2 = e,a 1 ba = b2,则|b| =_。2.2 在交换群 G中,a,bG,|a| = 8,|b| = 3,则|a 2 b | =_。2.3 设 a是群 G
14、的元,a 的阶为 6,则 a4的阶为_。2.4 设 a是群 G中的一个 8阶元,则 a的阶为_。2.5 设 G是交换群,a、b G, |a|=5, |b|=7,则|ab|=_。2.6 群 AG中有_个 1阶元。2.7 在 S5中,4 阶元的个数为_。2.8 在 S4中,3 阶元的个数为_。2.9 设 为群, ,若 ,则 _。a28a2.10 设群 G=e,a 1,a 2,a n-1 ,运算为乘法,e 为 G的单位元,则 a1n =_.2.11 若 a,b是交换群 G中的 5阶元和 72阶元, 则 ab的阶为_。2.12 在整数加群 Z中, =_。2.13 10阶交换群 G的所有子群的个数是_。
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