培优专栏12全等三角形及其-应用(含答案~).doc
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1、|6、全等三角形及其应用【知识精读】1. 全等三角形的定义:能够完全重合的两个三角形叫全等三角形;两个全等三角形中,互相重合的顶点叫做对应顶点。互相重合的边叫对应边,互相重合的角叫对应角。2. 全等三角形的表示方法:若ABC 和ABC是全等的三角形,记作 “ABCABC其中, “”读作“全等于” 。记两个三角形全等时,通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。3. 全等三角形的的性质:全等三角形的对应边相等,对应角相等;4. 寻找对应元素的方法(1)根据对应顶点找如果两个三角形全等,那么,以对应顶点为顶点的角是对应角;以对应顶点为端点的边是对应边。通常情况下,两个三角形全等时,对应顶点的字母都
2、写在对应的位置上,因此,由全等三角形的记法便可写出对应的元素。(2)根据已知的对应元素寻找全等三角形对应角所对的边是对应边,两个对应角所夹的边是对应边;(3)通过观察,想象图形的运动变化状况,确定对应关系。通过对两个全等三角形各种不同位置关系的观察和分析,可以看出其中一个是由另一个经过下列各种运动而形成的。翻折 如图(1), BOCEOD ,BOC 可以看成是由EOD 沿直线 AO 翻折 180得到的;旋转 如图(2), CODBOA,COD 可以看成是由BOA 绕着点 O 旋转 180得到的;|平移 如图(3), DEF ACB,DEF 可以看成是由ACB 沿 CB 方向平行移动而得到的。5
3、. 判定三角形全等的方法:(1)边角边公理、角边角公理、边边边公理、斜边直角边公理(2) 推论:角角边定理6. 注意问题:(1)在判定两个三角形全等时,至少有一边对应相等;(2)不能证明两个三角形全等的是,a: 三个角对应相等,即 AAA;b :有两边和其中一角对应相等,即 SSA。全等三角形是研究两个封闭图形之间的基本工具,同时也是移动图形位置的工具。在平面几何知识应用中,若证明线段相等或角相等,或需要移动图形或移动图形元素的位置,常常需要借助全等三角形的知识。【分类解析】全等三角形知识的应用(1) 证明线段(或角)相等例 1:如图,已知 AD=AE,AB=AC.求证:BF=FC分析:由已知
4、条件可证出 ACDABE,而 BF 和 FC 分别位于 DBF 和 EFC中,因此先证明 ACD ABE,再证明 DBFECF ,既可以得到 BF=FC.证明:在 ACD 和 ABE 中,|AE=D A AB=C. ACDABE (SAS) B=C (全等三角形对应角相等)又 AD=AE,AB=AC. ABAD=ACAE即 BD=CE在 DBF 和 ECF 中 B= C FD FE( 对 顶 角 相 等 ) B=CE DBF ECF (AAS ) BF=FC (全等三角形对应边相等)(2)证明线段平行例 2:已知:如图,DEAC ,BFAC,垂足分别为 E、F,DE=BF ,AF=CE. 求证
5、:ABCD DCBA分析:要证 ABCD,需证CA,而要证CA,又需证 ABFCDE.由已知 BFAC,DEAC,知 DECBFA=90,且已知 DE=BF,AF=CE. 显然证明ABF CDE 条件已具备,故可先证两个三角形全等,再证CA,进一步证明ABCD.证明: DEAC,BFAC (已知) DECBFA=90 (垂直的定义)在 ABF 与 CDE 中,|AF=CE ( 已 知 ) D BFA ( 已 证 ) E=BF ( 已 知 ) ABF CDE(SAS) CA (全等三角形对应角相等 ) ABCD (内错角相等,两直线平行)(3)证明线段的倍半关系,可利用加倍法或折半法将问题转化为
6、证明两条线段相等例 3:如图,在 ABC 中,AB=AC ,延长 AB 到 D,使 BD=AB,取 AB 的中点 E,连接 CD 和 CE. 求证:CD=2CE分析:()折半法:取 CD 中点 F,连接 BF,再证 CEBCFB.这里注意利用 BF 是ACD 中位线这个条件。证明:取 CD 中点 F,连接 BF BF= AC,且 BFAC (三角形中位线定理)12 ACB2 (两直线平行内错角相等)又 AB=AC ACB3 (等边对等角) 32在 CEB 与 CFB 中,BF=E 3 2 CB=CB CEB CFB (SAS) CE=CF= CD (全等三角形对应边相等)12即 CD=2CE(
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