论全等三角形判定与-性质及其-技巧.doc
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1、|论全等三角形判定与性质及其技巧袁崧浩三角形是平面几何中最重要也是最基础的图形之一,大部分的平面几何都建立在三角形的基础上,本文将论述全等三角形的基础及其拓展。一、 全等三角形的判定公理1、 边边边(SSS)三 边 对 应 相 等 的 两 个 三 角 形 全 等2、 边 角 边 ( SAS)两 边 和 它 们 的 夹 角 对 应 相 等 的 两 个 三 角 形 全 等3、 角边角(ASA)两 角 和 它 们 的 夹 边 对 应 相 等 的 两 个 三 角 形 全 等4、 角角边(AAS)两 个 角 和 其 中 一 个 角 的 对 边 对 应 相 等 的 两 个 三 角 形 全 等5、 斜边、直
2、角边(HL)直 角 三 角 形 全 等 条 件 有 : 斜 边 及 一 直 角 边 对 应 相 等 的 两 个 直 角三 角 形 全 等二 、 全 等 三 角 形 的 性 质1 全 等 三 角 形 的 对 应 角 相 等 。 2 全 等 三 角 形 的 对 应 边 相 等 。 3 全 等 三 角 形 的 对 应 边 上 的 高 对 应 相 等 。 4 全 等 三 角 形 的 对 应 角 的 角 平 分 线 相 等 。 5 全 等 三 角 形 的 对 应 边 上 的 中 线 相 等 。 6 全 等 三 角 形 面 积 相 等 。 7 全 等 三 角 形 周 长 相 等 。三、 全等三角形题型的解
3、题技巧1、 制造全等三角形|在一些题目中,你需要通过全等来解题但是在图形中找不到全等三角形,这时就需要通过辅助线来制造全等三角形以解题,可利用等角和等边来作辅助线,一下介绍两种比较经典的方法:(1) 倍长中 线 法 :延 长 中 线 , 使 所 延 长 部 分 与 中 线 相 等 , 然 后 往 往 需 要 连 接 相应 的 顶 点 , 则 对 应 角 对 应 边 都 对 应 相 等 。 常 用 于 构 造 全 等 三角 形 ,例 题 如 下 :如图,ABC 中,AD 是 BC 边上的中线,求证:2ADAB+AC证明:延长 AD 至 E,使 DE=AD,连结 CE易证三角形ADBEDCAB=C
4、E在三角形 ACE 中,2ADAC+CE(三角形两边之和大于第三边)故证毕(2) 角平分线作垂线:利用定理(角平分线上的点到两边的距离相等)来在角平分线上的特定点做边的垂线,以构造全等三角形。定理证明:|证明:OP 是MON 的平分线,过 P 做 PAOM 与 A,PBON 于BOP 平分MONMOP=NOP即AOP=BOPPAOM,PBONPAO=PBO=90AOPBOPPA=PB故证毕(逆定理证明类似)例题如下:如图,在ABC 中,C=90,AD 平分CAB,BC=8,BD=5,DEAB,求 DE解:BC=8,BD=5CD=3DEAB2、 特殊三角形的性质与判定 等腰三角形:(1) 等腰三
5、角形三线合一等 腰 三 角 形 底 边 上 的 高 、 底 边 上 的 中 线 、 顶 角 平 分 线 相 互重 合 。( 在 三 角 形 中 , 只 要 有 两 条 线 重 合 , 那 这 个 三 角 形 一 定是 腰 三 角 形 )三 线 合 一 的 证 明 :|如 图 , 已 知 AB=AC, D 为 BC 中 点 , 求 证 : AD 平 分 BAC, AD BC证 明 : ABC 为 等 腰 三 角 形 AB=AC B= C AD 为 中 线 BD=DC 易 证 ADB ADC( SAS) 可 得 BAD= CAD, ADB= ADC ADB+ ADC= BDC, 且 BDC=180
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