全等三角形辅助线系列之一--角平分线类辅助线作法大全~.doc
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1、|全等三角形辅助线系列之一与角平分线有关的辅助线作法大全一、角平分线类辅助线作法角平分线具有两条性质:a、对称性;b、角平分线上的点到角两边的距离相等对于有角平分线的辅助线的作法,一般有以下四种1、角分线上点向角两边作垂线构全等:过角平分线上一点向角两边作垂线,利用角平分线上的点到两边距离相等的性质来证明问题;2、截取构全等利用对称性,在角的两边截取相等的线段,构造全等三角形;3、延长垂线段题目中有垂直于角平分线的线段,则延长该线段与角的另一边相交,构成等腰三角形;4、做平行线:以角分线上一点做角的另一边的平行线,构造等腰三角形有角平分线时,常过角平分线上的一点作角的一边的平行线,从而构造等腰
2、三角形或通过一边上的点作角平分线的平行线与另外一边的反向延长线相交,从而也构造等腰三角形通常情况下,出现了直角或是垂直等条件时,一般考虑作垂线;其它情况下考虑构造对称图形至于选取哪种方法,要结合题目图形和已知条件一一一一 QPO NMPO NMBAABMNO PPO NMBA|典型例题精讲【例 1】 如图所示,BN 平分 ABC ,P 为 BN 上的一点,并且 PDBC 于 D, 2ABC求证: 180BAC AB CDPN【解析】过点 P 作 PEAB 于点 EPEAB,PDBC,BN 平分ABC, PED在 RtPBE 和 RtPBC 中,BPEDRtPBERtPBC(HL) , BED
3、, , , 2ABCCAEACDPEAB,PDBC, 90P在PAE 和 RtPCD 中, ,PEDBCAPAERtPCD, PBEA , 180BPE180CP【答案】见解析 NPEDCBA|【例 2】 如图,已知: ,ADBC ,P 是 AB 的中点,PD 平分ADC,求证:CP 平分90ADCBPDCBA【解析】因为已知 PD 平分 ADC,所以我们过 P 点作 PECD,垂足为 E,则 ,由 P 是 ABA的中点,得 ,即 CP 平分DCBPBE【答案】作 PECD,垂足为 E, ,90CAPD 平分ADC, ,P又 , ,90BPCB点 P 在DCB 的平分线上,CP 平分DCB A
4、B CDP E【例 3】 已知: ,OM 是AOB 的平分线,将三角板的直角顶点 P 在射线 OM 上滑动,90AOB两直角边分别与 OA、OB 交于 C、D|(1)PC 和 PD 有怎样的数量关系是_(2)请你证明(1)得出的结论【解析】 (1) PCD(2)过 P 分别作 PEOB 于 E,PFOA 于 F, ,90FEOM 是AOB 的平分线, ,P ,且 , ,190PD90AOB90FPE , ,2F12在CFP 和DEP 中, CFPDEP, 12CPDEF PCD【答案】见解析【例 4】 如图,OP 是MON 的平分线,请你利用该图形画一对以 OP 所在直线为对称轴的全等三角形请
5、你参考这个作全等三角形的方法,解答下列问题:(1)如图,在ABC 中,ACB 是直角, ,AD、CE 分别是BAC 、BCA 的60B平分线,AD、CE 相交于点 F,请你判断并写出 FE 与 FD 之间的数量关系(不需证明) ;(2)如图,在ABC 中, ,请问,在(1)中所得结论是否仍然成立?若成立,60B请证明;若不成立,请说明理由【解析】如图所示;|(1) FED(2)如图,过点 F 作 FGAB 于 G,作 FHBC 于 H,作 FKAC 于 K,AD、CE 分别是BAC 、BCA 的平分线, ,F在四边形 BGFH 中, ,3609210HAD、CE 分别是BAC 、BCA 的平分
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