大一高数复习预习资料【完整版】.doc
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1、.高等数学(非数院)第一章 函数与极限第一节 函数函数基础(高中函数部分相关知识) ()邻域(去心邻域) (),|Uaxa|0第二节 数列的极限数列极限的证明()【题型示例】已知数列 ,证明nxlimnxa【证明示例】 语言N1由 化简得 ,nxag g2即对 , 。当 时,始终0Nn有不等式 成立,nx axlim第三节 函数的极限 时函数极限的证明()0【题型示例】已知函数 ,证明xfAxf0lim【证明示例】 语言1由 化简得 ,fxAg g2即对 , ,当 时,0g0x始终有不等式 成立,fx Ax0lim 时函数极限的证明()【题型示例】已知函数 ,证明xfAxflim【证明示例】
2、语言X1由 化简得 ,fxg g2即对 , ,当 时,始终有0Xx不等式 成立,fxA xlim第四节 无穷小与无穷大无穷小与无穷大的本质()函数 无穷小f0lixf函数 无穷大x无穷小与无穷大的相关定理与推论()(定理三)假设 为有界函数, 为无穷小,xfxg则 lim0g(定理四)在自变量的某个变化过程中,若 f为无穷大,则 为无穷小;反之,若1fx为无穷小,且 ,则 为无穷xf xf1大【题型示例】计算: (或 )0lixfg1 函数 在 的任一去心fM0x邻域 内是有界的;,0U( ,函数 在 上有界;fxfD)2 即函数 是 时的无穷小;lim0gxxg0( 即函数 是 时的无穷小;
3、)3由定理可知 0lixfx( )lixfg第五节 极限运算法则极限的四则运算法则()(定理一)加减法则(定理二)乘除法则关于多项式 、 商式的极限运算pxq设: nnmmbbaa10则有 0lixqpn00limxfgf000,xf(特别地,当 (不定型)时,通常0lixfg分子分母约去公因式即约去可去间断点便可求解出极限值,也可以用罗比达法则求解).【题型示例】求值 23lim9x【求解示例】解:因为 ,从而可得 ,所以3x原式 23331lilili96xxx其中 为函数 的可去间断点29f倘若运用罗比达法则求解(详见第三章第二节):解: 0233321limlilim96xLxx连续函
4、数穿越定理(复合函数的极限求解) ()(定理五)若函数 是定义域上的连续函数,那f么, 0 0lilixx【题型示例】求值: 93lim2x【求解示例】 3316lixx第六节 极限存在准则及两个重要极限夹迫准则(P53) ()第一个重要极限: 1sinlm0x , 2,xtai1sinl0x000lililsinsxxx(特别地, )00()lim1x单调有界收敛准则(P57) ()第二个重要极限: exx1li(一般地, ,其中limliggxff)0limf【题型示例】求值:123lixx【求解示例】 21112221 121 1lim1213lililililixxxx xxx xxx
5、解 : 2lim1121lim1 xxx eee 第七节 无穷小量的阶(无穷小的比较)等价无穷小()1 sintarcsinartln(1)UUe 2 o(乘除可替,加减不行)【题型示例】求值: xx31lnlim20【求解示例】 31li31li3ln1li l, 000 2 xxx xx所 以 原 式即解 : 因 为第八节 函数的连续性函数连续的定义() 000limlixxfff间断点的分类(P67) () )无 穷 间 断 点 ( 极 限 为第 二 类 间 断 点 可 去 间 断 点 ( 相 等 )跳 越 间 断 点 ( 不 等 )限 存 在 )第 一 类 间 断 点 ( 左 右 极(
6、特别地,可去间断点能在分式中约去相应公因式)【题型示例】设函数 , 应该怎样xaef20选择数 ,使得 成为在 上的连续函数?axR【求解示例】1 201feaf2由连续函数定义 efxfxx 0limli00. ea第九节 闭区间上连续函数的性质零点定理()【题型示例】证明:方程 至少有一个fxgC根介于 与 之间ab【证明示例】1 (建立辅助函数)函数 在fx闭区间 上连续;,2 (端点异号)0ab3由零点定理,在开区间 内至少有一点 ,ba,使得 ,即 (0fgC)104这等式说明方程 在开区间fx内至少有一个根ba,第二章 导数与微分第一节 导数概念高等数学中导数的定义及几何意义(P8
7、3) ()【题型示例】已知函数 , 在baxef10x处可导,求 ,0xab【求解示例】1 ,01fe012fef2由函数可导定义 002afffb 1,2ab【题型示例】求 在 处的切线与法线方程xfy(或:过 图像上点 处的切线与法线,af方程)【求解示例】1 ,xfyfyax|2切线方程: xa法线方程: 1ff第二节 函数的和(差) 、积与商的求导法则函数和(差) 、积与商的求导法则()1线性组合(定理一): ()uvv特别地,当 时,有12函数积的求导法则(定理二):()uv3函数商的求导法则(定理三): 2第三节 反函数和复合函数的求导法则反函数的求导法则()【题型示例】求函数 的
8、导数xf1【求解示例】由题可得 为直接函数,其在定于域上单调、可导,且 ;D0xf1fxf复合函数的求导法则()【题型示例】设 ,求2arcsin12lxyeay【求解示例】 2222 222arcsin12arcsin1 2arcsin12arcsin12arcsin122arcsin12arcsiarcsin12xxxxxxxe aexaee 解 : 2n122x x 第四节 高阶导数 (或 ) ()1nnfxfx1ndyx【题型示例】求函数 的 阶导数yl【求解示例】 ,11x,2yx2 31x1()(nnnyx!第五节 隐函数及参数方程型函数的导数隐函数的求导(等式两边对 求导) ()
9、【题型示例】试求:方程 所给定的曲线 :yeC.在点 的切线方程与法线方程xy1,e【求解示例】由 两边对 求导yx即 化简得y ye e1切线方程: exy1法线方程: 参数方程型函数的求导【题型示例】设参数方程 ,求ty2dxy【求解示例】1. 2.tdx2t第六节 变化率问题举例及相关变化率(不作要求)第七节 函数的微分基本初等函数微分公式与微分运算法则() dxfy第三章 中值定理与导数的应用第一节 中值定理引理(费马引理) ()罗尔定理()【题型示例】现假设函数 在 上连续,在fx0,上可导,试证明: ,0,使得 成立 cossinff【证明示例】1 (建立辅助函数)令 sixfx显
10、然函数 在闭区间 上连续,在开区间0,上可导;0,2又 sinf即 03由罗尔定理知,使得 成0,cossin0ff立拉格朗日中值定理()【题型示例】证明不等式:当 时,1xxe【证明示例】1 (建立辅助函数)令函数 ,则对 ,f1显然函数 在闭区间 上连续,在开区间fx1,x上可导,并且 ;1,fe2由拉格朗日中值定理可得, 使得等式,成立,xee又 , ,111xex化简得 ,即证得:当 时,x 【题型示例】证明不等式:当 时,0ln【证明示例】1 (建立辅助函数)令函数 ,则对1fx,函数 在闭区间 上连续,在开0xf,区间 上可导,并且 ;,f2由拉格朗日中值定理可得, 使得等式0,x
11、成立,1ln1l0x化简得 ,又 ,x,x , ,1fln1即证得:当 时,xxe第二节 罗比达法则运用罗比达法则进行极限运算的基本步骤()1 等价无穷小的替换(以简化运算)2判断极限不定型的所属类型及是否满足运用罗比达法则的三个前提条件A属于两大基本不定型( )且满足条件,0,则进行运算: limlixaxaffg(再进行 1、2 步骤,反复直到结果得出)B 不属于两大基本不定型(转化为基本不定型) 型(转乘为除,构造分式)0【题型示例】求值: 0lilnx【求解示例】 1000020lllimniiim1lixxLxxxa 解 :.(一般地, ,其中 )0limln0x,R 型(通分构造分
12、式,观察分母)【题型示例】求值: 01lisnxx【求解示例】 20001isinlimlilmsnxxx解 : 00002 1cocsililililLxxLxx 型(对数求极限法)【题型示例】求值: 0lix【求解示例】 0000limnl0002 ln,ln1llliii1limlili 1xx xxxLxyyxxxyyee解 : 设 两 边 取 对 数 得 :对 对 数 取 时 的 极 限 : , 从 而 有 型(对数求极限法)【题型示例】求值: 10licosixx【求解示例】 01000limnl10 lncosicosin, ,lilnliscos1i ,inl=xxxLx xy
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