导数专栏复习预习(配详细内容答案).doc
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1、.导数专题复习(配详细答案)体型一:关于二次函数的不等式恒成立的主要解法:1、分离变量;2 变更主元;3 根分布;4 判别式法5、二次函数区间最值求法:(1)对称轴(重视单调区间)与定义域的关系 (2)端点处和顶点是最值所在其次,分析每种题型的本质,你会发现大部分都在解决“不等式恒成立问题”以及“充分应用数形结合思想” ,创建不等关系求出取值范围。注意寻找关键的等价变形和回归的基础一、基础题型:函数的单调区间、极值、最值;不等式恒成立;1、此类问题提倡按以下三个步骤进行解决:第一步:令 得到两个根;0)(xf第二步:画两图或列表;第三步:由图表可知;其中不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题,
2、2、常见处理方法有三种:第一种:分离变量求最值-用分离变量时要特别注意是否需分类讨论(0,=0,0)第二种:变更主元(即关于某字母的一次函数)-(已知谁的范围就把谁作为主元) ;例 1:设函数 在区间 D 上的导数为 , 在区间 D 上的导数为 ,若在区间 D()yfx()fxf ()gx上, 恒成立,则称函数 在区间 D 上为 “凸函数” ,已知实数 m 是常数,()0gx()yfx43216mxf(1)若 在区间 上为“凸函数” ,求 m 的取值范围;()yf0,3(2)若对满足 的任何一个实数 ,函数 在区间 上都为“凸函数” ,求 的最2()fx,abba大值.解:由函数 得 432(
3、)16xmxf32()fx.2()3gxm(1) 在区间 上为“凸函数” ,()yf0,则 在区间0,3上恒成立 2x解法一:从二次函数的区间最值入手:等价于 max()0g(0)3290g解法二:分离变量法: 当 时, 恒成立,0x2()30gxm当 时, 恒成立3等价于 的最大值( )恒成立,2xx03x而 ( )是增函数,则3()h0max()2h2m(2)当 时 在区间 上都为“凸函数” ()fx,ab则等价于当 时 恒成立 230gx变更主元法再等价于 在 恒成立(视为关于 m 的一次函数最值问题)2()Fmxm2(2)0301Fxxba-2 2.例 2:设函数 ),10(3231)
4、(2Rbaxaxf ()求函数 f(x )的单调区间和极值;()若对任意的 不等式 恒成立,求 a 的取值范围. ,()f(二次函数区间最值的例子)解:() 22()43fxaxxa01a令 得 的单调递增区间为(a,3a),0)(xf)(xf令 得 的单调递减区间为( ,a)和(3a,+ )当 x=a 时, 极小值 = 当 x=3a 时, 极大值 =b. )(xf;43b)(xf()由| |a,得:对任意的 恒成立 ,2,1x2243a则等价于 这个二次函数 的对称轴 ()gxmain()g22()gxa2xa(放缩法)01,a2即定义域在对称轴的右边, 这个二次函数的最值问题:单调增函数的
5、最值问题。()gx上是增函数. (9 分)22431,axa、 min()()4.g于是,对任意 ,不等式恒成立,等价于2,1ax(2)41.15ga、3aa()fxa3a2xa1,2.又 ,10a.54点评:重视二次函数区间最值求法:对称轴(重视单调区间)与定义域的关系第三种:构造函数求最值题型特征: 恒成立 恒成立;从而转化为第一、二种题型)(xgf0)()(xgfxh例 3;已知函数 图象上一点 处的切线斜率为 ,32()fa(1,)Pb326()10tgxxtt()求 的值;,ab()当 时,求 的值域;4x()fx()当 时,不等式 恒成立,求实数 t 的取值范围。1, ()g解:(
6、) , 解得 /2()3fxax/13fba32ab()由()知, 在 上单调递增,在 上单调递减,在 上单调递减f,00,4又 (1)4,(0),(2)4()16f f 的值域是x16()令 2()()()31,4thfxgxx思路 1:要使 恒成立,只需 ,即 分离变量0h2()6t思路 2:二次函数区间最值二、参数问题题型一:已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围解法 1:转化为 在给定区间上恒成立, 回归基础题型0)()( xff或解法 2:利用子区间(即子集思想) ;首先求出函数的单调增或减区间,然后让所给区间是求的增或减区间的子集; 做题时一定要看清楚“在(m,n )上是减函数”
7、与“函数的单调减区间是(a,b) ”,要弄清楚两句话的区别:前者是后者的子集.例 4:已知 ,函数 Raxaxxf )14(21)(3()如果函数 是偶函数,求 的极大值和极小值;fgf()如果函数 是 上的单调函数,求 的取值范围)(x),a解: . 14(41)(2 af() 是偶函数, . 此时 , , xxxf312)(341)(2xf令 ,解得: . 0)(f 32列表如下: x(, 2 ) 2 (2 ,2 )32 3(2 ,+)f+ 0 0 +(x递增 极大值 递减 极小值 递增可知: 的极大值为 , 的极小值为 . )f 34)2(f ()fx34)2(f()函数 是 上的单调函
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