2005年全国硕士-分析研究生入学统一考试(数一~)试题-及其答案~资料.doc
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1、-_2005 年全国硕士研究生入学统一考试年全国硕士研究生入学统一考试数学数学(一一)试卷试卷一、填空题一、填空题(本题共本题共 6 小题小题,每小题每小题 4 分分,满分满分 24 分分.把答案填在题中横线上把答案填在题中横线上)(1)曲线122xxy的斜渐近线方程为 _.(2)微分方程xxyyxln2满足91) 1 (y的解为_.(3)设函数181261),(222zyxzyxu,单位向量1 , 1 , 131n,则)3 , 2, 1(nu =._.(4)设是由锥面22yxz与半球面222yxRz围成的空间区域,是的整个边界的外侧,则zdxdyydzdxxdydz_.(5)设123, 均为
2、 3 维列向量,记矩阵123(,)A ,123123123(,24,39)B ,如果1A,那么B .(6)从数 1,2,3,4 中任取一个数,记为X, 再从X, 2 , 1中任取一个数,记为Y, 则2YP=_.二、选择题二、选择题(本题共本题共 8 小题小题,每小题每小题 4 分分,满分满分 32 分分.每小题给出的四个选项中每小题给出的四个选项中,只有一项只有一项 符合题目要求符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内把所选项前的字母填在题后的括号内)(7)设函数nnnxxf31lim)( ,则( )f x在),(内(A)处处可导 (B)恰有一个不可导点(C)恰有两个不可导点 (D)至少
3、有三个不可导点(8)设( )F x是连续函数( )f x的一个原函数,“NM 表示“M的充分必要条件是“,N则必有(A)( )F x是偶函数( )f x是奇函数 (B)( )F x是奇函数( )f x是偶函数-_(C)( )F x是周期函数( )f x是周期函数 (D)( )F x是单调函数( )f x是单调函数(9)设函数yxyxdttyxyxyxu)()()(),(, 其中函数具有二阶导数, 具有一阶导数,则必有(A)2222yu xu (B)2222yu xu (C)222yu yxu (D)222xu yxu (10)设有三元方程lne1xzxyzy,根据隐函数存在定理,存在点(0,1
4、,1)的一个邻域,在此邻域内该方程(A)只能确定一个具有连续偏导数的隐函数( , )zz x y (B)可确定两个具有连续偏导数的隐函数( , )xx y z和( , )zz x y (C)可确定两个具有连续偏导数的隐函数( , )yy x z和( , )zz x y (D)可确定两个具有连续偏导数的隐函数( , )xx y z和( , )yy x z(11)设21,是矩阵A的两个不同的特征值,对应的特征向量分别为12, ,则1,12()A 线性无关的充分必要条件是(A)01 (B)02 (C)01 (D)02(12)设A为(2)n n 阶可逆矩阵,交换A的第 1 行与第 2 行得矩阵*.,B
5、 A B分别为,A B的伴随矩阵,则(A)交换*A的第 1 列与第 2 列得*B (B)交换*A的第 1 行与第 2 行得*B (C)交换*A的第 1 列与第 2 列得*B (D)交换*A的第 1 行与第 2 行得*B (13)设二维随机变量(, )X Y的概率分布为X Y0100.4a1b0.1-_已知随机事件0X与1YX相互独立,则(A)0.2,0.3ab (B)0.4,0.1ab(C)0.3,0.2ab(D)0.1,0.4ab(14)设)2(,21nXXXn为来自总体(0,1)N的简单随机样本,X为样本均值,2S为样本方差,则(A) 1 , 0( NXn (B)22( )nSn(C) 1
6、() 1(ntSXn(D)2 122(1)(1,1)ni inXFn X 三三 、解答题、解答题(本题共本题共 9 小题小题,满分满分 94 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) (15)(本题满分 11 分)设0, 0,2),(22yxyxyxD,1 22yx 表示不超过221yx 的最大整数. 计算二重积分Ddxdyyxxy.1 22(16)(本题满分 12 分)求幂级数 121) 12(11 () 1(nnnxnn的收敛区间与和函数( )f x.(17)(本题满分 11 分)如图,曲线C的方程为( )yf x,点(3,2)是它的一个拐点,直
7、线1l与2l分别是曲线C在点(0,0)与(3,2)处的切线,其交点为(2,4).设函数( )f x具有三阶连续导数,计算定积分 302.)()(dxxfxx(18)(本题满分 12 分)已知函数( )f x在0,1上连续,在(0,1)内可导,且(0)0,(1)1ff. 证明:(1)存在),1 , 0( 使得1)(f.(2)存在两个不同的点) 1 , 0(,使得. 1)()(ff(19)(本题满分 12 分)设函数)(y具有连续导数,在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线L上,曲线积分-_24( )2 2Ly dxxydy xy A的值恒为同一常数.(1)证明:对右半平面0x 内的任意分段光滑简单闭
8、曲线,C有24( )202Cy dxxydy xy A.(2)求函数)(y的表达式.(20)(本题满分 9 分)已知二次型212 32 22 1321)1 (22)1 ()1 (),(xxaxxaxaxxxf的秩为 2.(1)求a的值;(2)求正交变换xy Q,把),(321xxxf化成标准形.(3)求方程),(321xxxf=0 的解.(21)(本题满分 9 分)已知 3 阶矩阵A的第一行是cbacba,),(不全为零,矩阵12324636k B(k为常数),且ABO,求线性方程组0x A的通解. (22)(本题满分 9 分)设二维随机变量(, )X Y的概率密度为( , )f x y 10
9、01,02xyx其其求:(1)(, )X Y的边缘概率密度)(),(yfxfYX.(2)YXZ 2的概率密度).(zfZ(23)(本题满分 9 分)设)2(,21nXXXn为来自总体(0,1)N的简单随机样本,X为样本均值,记., 2 , 1,niXXYii求:(1)iY的方差niDYi, 2 , 1,.(2)1Y与nY的协方差1Cov( ,).nY Y-_20052005 年考研数学一真题解析年考研数学一真题解析一、填空题一、填空题(本题共 6 小题,每小题 4 分,满分 24 分. 把答案填在题中横线上)(1)曲线 的斜渐近线方程为 122xxy.41 21xy【分析分析】 本题属基本题型
10、,直接用斜渐近线方程公式进行计算即可.【详解详解】 因为 a=,21 2lim)(lim22 xxx xxfxx,41 ) 12(2lim)(lim xxaxxfb xx于是所求斜渐近线方程为.41 21xy(2)微分方程满足的解为.xxyyxln291) 1 (y.91ln31xxxy【分析分析】直接套用一阶线性微分方程的通解公式:)()(xQyxPy,)()()(CdxexQeydxxPdxxP再由初始条件确定任意常数即可. 【详解详解】 原方程等价为,xyxyln2于是通解为 ln1ln2 222 CxdxxxCdxexeydxxdxx=,21 91ln31 xCxxx由得 C=0,故所
11、求解为91) 1 (y.91ln31xxxy(3)设函数,单位向量,则=181261),(222zyxzyxu1 , 1 , 131n)3 , 2, 1(nu .33【分析分析】 函数 u(x,y,z)沿单位向量的方向导数为:cos,cos,cosncoscoscoszu yu xu nu 因此,本题直接用上述公式即可.-_【详解详解】 因为 ,于是所求方向导数为3x xu 6y yu 9z zu= )3 , 2, 1(nu .3331 3131 3131 31(4)设是由锥面与半球面围成的空间区域,22yxz222yxRz是的整个边界的外侧,则. zdxdyydzdxxdydz3)221 (
12、2R【分析分析】本题是封闭曲面且取外侧,自然想到用高斯公式转化为三重积分,再用球 面(或柱面)坐标进行计算即可.【详解详解】 zdxdyydzdxxdydz dxdydz3=.)221 (2sin332004 02RdddR (5)设均为 3 维列向量,记矩阵321,,),(321A)93,42,(321321321B如果,那么 2 .1AB【分析分析】 将 B 写成用 A 右乘另一矩阵的形式,再用方阵相乘的行列式性质进行计算 即可. 【详解详解】 由题设,有)93,42,(321321321B=, 941321111 ),(321于是有 . 221 941321111 AB(6)从数 1,2
13、,3,4 中任取一个数,记为 X, 再从中任取一个数,记为 Y, 则X, 2 , 1= .2YP4813【分析分析】 本题涉及到两次随机试验,想到用全概率公式, 且第一次试验的各种两两互 不相容的结果即为完备事件组或样本空间的划分.-_【详解详解】 =+2YP121XYPXP222XYPXP+323XYPXP424XYPXP=.4813)41 31 210(41二、选择题二、选择题(本题共 8 小题,每小题 4 分,满分 32 分. 每小题给出的四个选项中,只有一 项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(7)设函数,则 f(x)在内nnnxxf31lim)( ),(A) 处处可导.
14、 (B) 恰有一个不可导点. (C) 恰有两个不可导点. (D) 至少有三个不可导点. C 【分析分析】 先求出 f(x)的表达式,再讨论其可导情形.【详解详解】 当时,;1x11lim)(3 nnnxxf当时,;1x111lim)( nnxf当时,1x.) 11(lim)(3133x xxxfn nn 即 可见 f(x)仅在 x=时不可导,故应选(C). 1, 11, 1, 1,)(33xxxxxxf1(8)设 F(x)是连续函数 f(x)的一个原函数,表示“M 的充分必要条件是 N”,“NM 则必有 (A)F(x)是偶函数f(x)是奇函数. (B) F(x)是奇函数f(x)是偶函数. (C
15、) F(x)是周期函数f(x)是周期函数. (D) F(x)是单调函数f(x)是单调函数. A 【分析分析】 本题可直接推证,但最简便的方法还是通过反例用排除法找到答案.【详解详解】 方法一:任一原函数可表示为,且xCdttfxF 0)()().()(xfxF当 F(x)为偶函数时,有,于是,即 )()(xFxF)() 1()(xFxF,也即,可见 f(x)为奇函数;反过来,若 f(x)为奇函数,)()(xfxf)()(xfxf则为偶函数,从而为偶函数,可见(A)为正确选项.xdttf 0)(xCdttfxF 0)()(方法二:令 f(x)=1, 则取 F(x)=x+1, 排除(B)、(C);
16、 令 f(x)=x, 则取 F(x)=, 排除(D); 2 21x故应选(A).(9)设函数, 其中函数具有二阶导数,yxyxdttyxyxyxu)()()(),(-_具有一阶导数,则必有(A) . (B) .2222yu xu 2222yu xu (C) . (D) . B 222yu yxu 222xu yxu 【分析分析】 先分别求出、,再比较答案即可.22xu 22yu yxu 2【详解详解】 因为,)()()()(yxyxyxyxxu,)()()()(yxyxyxyxyu于是于是 ,)()()()(22 yxyxyxyxxu ,)()()()(2 yxyxyxyxyxu ,)()()
17、()(22 yxyxyxyxyu 可见有,应选(B).2222yu xu (10)设有三元方程,根据隐函数存在定理,存在点(0,1,1)的一1lnxzeyzxy个邻域,在此邻域内该方程(A)只能确定一个具有连续偏导数的隐函数 z=z(x,y). (B)可确定两个具有连续偏导数的隐函数 x=x(y,z)和 z=z(x,y). (C)可确定两个具有连续偏导数的隐函数 y=y(x,z)和 z=z(x,y). (D)可确定两个具有连续偏导数的隐函数 x=x(y,z)和 y=y(x,z). D 【分析分析】 本题考查隐函数存在定理,只需令 F(x,y,z)=, 分别求出1lnxzeyzxy三个偏导数,再
18、考虑在点(0,1,1)处哪个偏导数不为 0,则可确定相应的隐函数.yxzFFF,【详解详解】 令 F(x,y,z)=, 则1lnxzeyzxy, ,zeyFxz xyzxFyxeyFxz zln-_且 ,. 由此可确定相应的隐函数 x=x(y,z)和2) 1 , 1 , 0(xF1) 1 , 1 , 0(yF0) 1 , 1 , 0(zFy=y(x,z). 故应选(D).(11)设是矩阵 A 的两个不同的特征值,对应的特征向量分别为,则,21,21,1线性无关的充分必要条件是)(21A(A) . (B) . (C) . (D) . B 01020102【分析分析】 讨论一组抽象向量的线性无关性
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