2008-2011年全国硕士分析研究生入学统一考试数学一真命题.doc
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1、#*2008 年全国硕士研究生入学统一考试数学数学(一一)试卷试卷一、选择题一、选择题(1-8 小题小题,每小题每小题 4 分分,共共 32 分分,下列每小题给出的四个选项中下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合只有一项符合 题目要求题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1)设函数20( )ln(2)xf xt dt则( )fx的零点个数(A)0(B)1 (C)2(D)3(2)函数( , )arctanxf x yy在点(0,1)处的梯度等于(A)i(B)-i (C)j(D) j(3)在下列微分方程中,以123cos2sin2xyC eCxCx(12
2、3,C C C为任意常数)为通解的是(A)440yyyy(B)440yyyy(C)440yyyy(D)440yyyy(4)设函数( )f x在(,) 内单调有界, nx为数列,下列命题正确的是(A)若 nx收敛,则()nf x收敛 (B)若 nx单调,则()nf x收敛(C)若()nf x收敛,则 nx收敛(D)若()nf x单调,则 nx收敛(5)设A为n阶非零矩阵,E为n阶单位矩阵. 若30A,则(A)EA不可逆,EA不可逆(B)EA不可逆,EA可逆(C)EA可逆,EA可逆 (D)EA可逆,EA不可逆 (6)设A为 3 阶实对称矩阵,如果二次曲面方程( , , )1xx y zyz A在正
3、交变换下的标准方程的图形如图,则A的正特征值个数为 (A)0 (B)1 (C)2 (D)3#*(7)设随机变量,X Y独立同分布且X分布函数为 F x,则max,ZX Y分布函数为(A) 2Fx(B) F x F y(C) 211F x(D) 11F xF y(8)设随机变量0,1XN,1,4YN且相关系数1XY,则(A)211P YX (B)211P YX(C)211P YX (D)211P YX二、填空题二、填空题(9-14 小题小题,每小题每小题 4 分分,共共 24 分分,请将答案写在答题纸指定位置上请将答案写在答题纸指定位置上.)(9)微分方程0xyy满足条件 11y的解是y . (
4、10)曲线 sinlnxyyxx在点0,1处的切线方程为.(11)已知幂级数02n n nax在0x 处收敛,在4x 处发散,则幂级数03n n nax的收敛域为.(12)设曲面是224zxy的上侧,则2xydydzxdzdxx dxdy.(13)设A为 2 阶矩阵,12, 为线性无关的 2 维列向量,12120,2AA,则A的非零特征值为.(14)设随机变量X服从参数为 1 的泊松分布,则2P XEX.三、解答题三、解答题(1523 小题小题,共共 94 分分.请将解答写在答题纸指定的位置上请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字解答应写出文字 说明、证明过程或演算步骤说明、证明过程或
5、演算步骤.) (15)(本题满分 10 分)求极限40sinsin sinsinlim xxxxx.(16)(本题满分 10 分)计算曲线积分2sin221 Lxdxxydy,其中L是曲线sinyx上从点0,0到点,0的一段.#*(17)(本题满分 10 分)已知曲线22220:35xyzCxyz,求曲线C距离XOY面最远的点和最近的点.(18)(本题满分 10 分)设 f x是连续函数,(1)利用定义证明函数 0xF xf t dt可导,且 Fxf x.(2)当 f x是以 2 为周期的周期函数时,证明函数 2002( )( )xG xf t dtxf t dt也是以 2 为周期的周期函数.
6、 (19)(本题满分 10 分) 21(0)f xxx ,用余弦级数展开,并求 12 11nnn的和.(20)(本题满分 11 分)TTA,T为的转置,T为的转置.证明:(1)( )2rA.(2)若, 线性相关,则( )2rA.(21)(本题满分 11 分)设矩阵2221 2 1 2n na aaaa A ,现矩阵A满足方程AXB,其中1,T nxxX,1,0,0B,(1)求证1nnaA.(2)a为何值,方程组有唯一解,求1x.(3)a为何值,方程组有无穷多解,求通解. (22)(本题满分 11 分)设随机变量X与Y相互独立,X的概率分布为11,0,13P Xii ,Y的概率密度为 1010Y
7、yfy 其它,记ZXY,(1)求102P ZX.#*(2)求Z的概率密度. (23)(本题满分 11 分) 设12,nXXX是总体为2( ,)N 的简单随机样本.记11ni iXXn,2211()1ni iSXXn,221TXSn(1)证明T是2的无偏估计量.(2)当0,1时 ,求DT.#*2009 年全国硕士研究生入学统一考试数学数学(一一)试卷试卷一、选择题一、选择题(1-8 小题小题,每小题每小题 4 分分,共共 32 分分,下列每小题给出的四个选项中下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合只有一项符合 题目要求题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内把所选项前的字母填在题后的括号内.
8、)(1)当0x 时, sinf xxax与 2ln 1g xxbx等价无穷小,则(A)11,6ab (B)11,6ab(C)11,6ab (D)11,6ab (2)如图,正方形,1,1x yxy被其对角线划分为四个区域1,2,3,4kDk ,coskk DIyxdxdy,则 14maxkkI (A)1I (B)2I(C)3I (D)4I(3)设函数 yf x在区间1,3上的图形为则函数 0xF xf t dt的图形为1( )f x-2023x-1O#*(A)( )f x023x1-2-11(B) ( )f x023x1-2-11(C)( )f x023x1-11(D)( )f x023x1-2
9、-11(4)设有两个数列 ,nnab,若lim0nna ,则#*(A)当1n nb收敛时,1nn na b收敛.(B)当1n nb发散时,1nn na b发散. (C)当1n nb收敛时,221nn na b收敛.(D)当1n nb发散时,221nn na b发散.(5)设123, 是 3 维向量空间3R的一组基,则由基12311,23到基122331, 的过渡矩阵为(A)101 220033 (B)120 023103 (C)111 246 111 246 111 246 (D)111 222 111 444 111 666 (6)设,AB均为 2 阶矩阵,*,A B分别为,AB的伴随矩阵,
10、若2,3AB,则分块矩阵OA BO 的伴随矩阵为(A)*32OBAO (B)*23OBAO (C)*32OABO (D)*23OABO (7)设随机变量X的分布函数为 10.30.72xF xx,其中 x为标准正态分布函数,则EX (A)0(B)0.3 (C)0.7(D)1 (8)设随机变量X与Y相互独立,且X服从标准正态分布0,1N,Y的概率分布为1012P YP Y,记 ZFz为随机变量ZXY的分布函数,则函数 ZFz的间断点个数为 (A)0(B)1 #*(C)2(D)3二、填空题二、填空题(9-14 小题小题,每小题每小题 4 分分,共共 24 分分,请将答案写在答题纸指定位置上请将答案
11、写在答题纸指定位置上.)(9)设函数,f u v具有二阶连续偏导数,zf x xy,则2zx y .(10)若二阶常系数线性齐次微分方程0yayby的通解为12exyCC x,则非齐次方程yaybyx满足条件 02,00yy的解为y .(11)已知曲线2:02L yxx,则 Lxds .(12)设222, ,1x y z xyz ,则2z dxdydz.(13)若 3 维列向量, 满足2T ,其中T为的转置,则矩阵T的非零特征值为 .(14)设12,mXXX为来自二项分布总体,B n p的简单随机样本,X和2S分别为样本均值和样本方差.若2XkS为2np的无偏估计量,则k .三、解答题三、解答
12、题(1523 小题小题,共共 94 分分.请将解答写在答题纸指定的位置上请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字解答应写出文字 说明、证明过程或演算步骤说明、证明过程或演算步骤.) (15)(本题满分 9 分)求二元函数22( , )2lnf x yxyyy的极值.(16)(本题满分 9 分)设na为曲线nyx与11,2,.nyxn所围成区域的面积,记1221 11,nn nnSa Sa ,求1S与2S的值.(17)(本题满分 11 分)椭球面1S是椭圆22 143xy绕x轴旋转而成,圆锥面2S是过点4,0且与椭圆22 143xy相切的直线绕x轴旋转而成.(1)求1S及2S的方程.(2)
13、求1S与2S之间的立体体积.(18)(本题满分 11 分)#*(1)证明拉格朗日中值定理:若函数 f x在, a b上连续,在( , )a b可导,则存在, a b,使得 f bf afba.(2)证明:若函数 f x在0x 处连续,在0,0内可导,且 0lim xfxA ,则 0f存在,且 0fA.(19)(本题满分 10 分)计算曲面积分 3 2222xdydzydzdxzdxdyI xyz A,其中是曲面222224xyz的外侧. (20)(本题满分 11 分)设111111042 A,1112 (1)求满足21A的2.2 31A 的所有向量2,3.(2)对(1)中的任意向量2,3证明1
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