必修四24平面向量地数量积(教案教材资料~).doc
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1、-_2. .4 平面向量的数量积平面向量的数量积教案教案 A第第 1 课时课时教学目标教学目标一、知识与技能一、知识与技能 1掌握平面向量的数量积及其几何意义; 2掌握平面向量数量积的重要性质及运算律; 3了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题; 二、过程与方法二、过程与方法 本节学习的关键是启发学生理解平面向量数量积的定义,理解定义之后便可引导 学生推导数量积的运算律,然后通过概念辨析题加深学生对于平面向量数量积的认 识 三、情感、态度与价值观三、情感、态度与价值观 通过问题的解决,培养学生观察问题、分析问题和解决问题的实际操作能力;培 养学生的交流意识、合作精神;培养学生
2、叙述表达自己解题思路和探索问题的能力 教学重点、难点教学重点、难点 教学重点:平面向量数量积的定义 教学难点:平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用. 教学关键:平面向量数量积的定义的理解 教学方法教学方法 本节学习的关键是启发学生理解平面向量数量积的定义,理解定义之后便可引导 学生推导数量积的运算律,然后通过概念辨析题加深学生对于平面向量数量积的认 识 学习方法学习方法 通过类比物理中功的定义,来推导数量积的运算 教学准备教学准备 教师准备: 多媒体、尺规. 学生准备: 练习本、尺规. 教学过程教学过程 一、创设情境,导入新课一、创设情境,导入新课 在物理课中,我们学过功的
3、概念,即如果一个物体在力 F 的作用下产生位移 s, 那么力 F 所做的功 W 可由下式计算:W=| F | | s | cos,其中 是 F 与 s 的夹角我们知道力和位移都是向量,而功是一个标量(数量) 故从力所做的功出发,我们就顺其自然地引入向量数量积的概念教师备课系统多媒体教案2二、主题探究,合作交流二、主题探究,合作交流 提出问题ab 的运算结果是向量还是数量?它的名称是什么? 由所学知识可以知道,任何一种运算都有其相应的运算律,数量积是一种向量 的乘法运算,它是否满足实数的乘法运算律?师生活动:已知两个非零向量 a 与 b,我们把数量|a|b|cos 叫做 a 与 b 的数量积 (
4、或内积) ,记作 ab,即 ab=|a|b|cos(0) 其中 是 a 与 b 的夹角,|a|cos(|b|cos)叫做向量 a 在 b 方向上(b 在 a 方向上) 的投影 在教师与学生一起探究的活动中,应特别点拨引导学生注意: (1)两个非零向量的数量积是个数量,而不是向量,它的值为两向量的模与两向 量夹角的余弦的乘积; (2)零向量与任一向量的数量积为 0,即 a0=0; (3)符号“”在向量运算中不是乘号,既不能省略,也不能用“”代替;(4)当 00,从而 ab0;当0,则ABC 是锐角三角形;ABBC-_在ABC 中,若0,则ABC 为钝角三角形;ABBCABC 为直角三角形的充要条
5、件是=0;ABBCABC 为斜三角形的充要条件是0ABBC其中为真命题的是( ) A B C D 3设|a|=8,e 为单位向量,a 与 e 的夹角为 60,则 a 在 e 方向上的投影为( )A4 B4 C42 D8+3234设 a、b、c 是任意的非零平面向量,且它们相互不共线,有下列四个命题: (ab)c-(ca)b=0; |a|-|b| Bm Dm21 21 21213若 a=(cos,sin) ,b=(cos,sin) ,则( ) Aab Bab C (a+b)(a-b) D (a+b)(a-b) 4与 a=(u,v)垂直的单位向量是( )A () 2222, vuuvuvB ()
6、2222, vuuvuv -_C () 2222, vuuvuvD ()或()2222,vuuvuv 2222, vuuvuv 5已知向量 a=(cos23,cos67) ,b=(cos68,cos22) ,u=a+tb(tR) ,求 u 的模的最小值 6已知 a,b 都是非零向量,且 a+3b 与 7a-5b 垂直,a-4b 与 7a-2b 垂直,求 a 与 b 的夹角 7已知ABC 的三个顶点为 A(1,1) ,B(3,1) ,C(4,5) ,求ABC 的面 积 参考答案: 1C 2D 3C 4D5|a|=1,同理有|b|=123sin23cos67cos23cos2222又 ab=cos
7、23cos68+cos67cos22=cos23cos68+sin23sin68=cos45=,22|u|2=(a+tb)2=a2+2tab+t2b2=t2+t+1=(t+)2+222 21 21当 t=时,|u|min=22226由已知(a+3b)(7a-5b)(a+3b)(7a-5b)=07a2+16ab- 15b2=0 又 (a-4b)(7a-2b)(a-4b)(7a-2b)=07a2-30ab+8b2=0 -得 46ab=23b2,即 ab=.2| 222bb将代入,可得 7|a|2+8|b|2-15|b|2=0,即|a|2=|b|2,有|a|=|b|,若记 a 与 b 的夹角为 ,则
8、 cos=2| | 12 | | | | | | |2b a b a bb bgg又 0,180,=60,即 a 与 b 的夹角为 60教师备课系统多媒体教案107分析:SABC=|sinBAC,而|,|易求,要求 sinBAC 可21ABACABAC先求出 cosBAC解:=(2,0) ,=(3,4) ,|=2,|=5,ABACABACcosBAC=sinBAC=23043 255|AB AC ABAC A 54SABC=|sinBAC=25=421ABAC21 54教案教案 B第一课时第一课时教学目标教学目标 一、知识与技能一、知识与技能1. 了解平面向量数量积的物理背景,理解数量积的含义
9、及其物理意义; 2. 体会平面向量的数量积与向量投影的关系,理解掌握数量积的性质和运算律, 并能运用性质和运算律进行相关的判断和运算 二、过程与方法二、过程与方法 体会类比的数学思想和方法,进一步培养学生抽象概括、推理论证的能力 三、情感、态度与价值观三、情感、态度与价值观 通过自主学习、主动参与、积极探究,学生能感受数学问题探究的乐趣和成功的 喜悦,增加学习数学的自信心和积极性,并养成良好的思维习惯 教学重点教学重点 平面向量数量积的定义,用平面向量的数量积表示向量的模、夹角 教学难点教学难点 平面向量数量积的定义及运算律的理解,平面向量数量积的应用 教教 具具 多媒体、实物投影仪 内容分析
10、内容分析 本节学习的关键是启发学生理解平面向量数量积的定义,理解定义之后便可引导 学生推导数量积的运算律,然后通过概念辨析题加深学生对于平面向量数量积的认 识 主要知识点:平面向量数量积的定义及几何意义;平面向量数量积的 3 个重要性 质;平面向量数量积的运算律 教学流程教学流程-_概念引入概念获得简单运用运算律探究理解掌握反思提高 教学设想:教学设想: 一、情境设置:一、情境设置: 问题问题 1:回忆一下物理中“功”的计算,功的大小与哪些量有关?sF结合向量的学习你有什么想法?力做的功:W = |cos,是与的夹角 (引导学生认识功这个物理量所FS FS 涉及的物理量,从“向量相乘”的角度进
11、行分析) 二、新课讲解二、新课讲解 1平面向量数量积(内积)的定义平面向量数量积(内积)的定义: 已知两个非零向量 a 与 b,它们的夹角是 ,则数量|a|b|cos叫 a 与 b 的数量积, 记作 a b,即有 a b = |a|b|cos, () 并规定:0 与任何向量的数量积为 0 问题问题 2:定义中涉及哪些量?它们有怎样的关系?运算结果还是向量吗?(引导学 生认清向量数量积运算定义中既涉及向量模的大小,又涉及向量的交角,运算结果是 数量) 注意:两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别 (1)两个向量的数量积是一个实数,不是向量,符号由 cos的符号所决定 (2)两个向量的数量积称为
12、内积,写成 a b;今后要学到两个向量的外积 ab, 而 a b 是两个向量的数量的积,书写时要严格区分符号“ ”在向量运算中不是乘 号,既不能省略,也不能用“”代替 (3)在实数中,若 a0,且 ab=0,则 b=0;但是在数量积中,若 a0,且 ab=0,不能推出 b=0因为其中 cos有可能为 0 (4)已知实数 a、b、c(b0) ,则 ab=bc a=c但是在向量的数量积中,ab = bc 推导不出 a = c . 如下图:ab = |a|b|cos = |b|OA|, bc = |b|c|cos = |b|OA| ab = bc ,但 a c. .(5)在实数中,有(ab)c =
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