天一专升本高数复习重点.doc
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1、-_第一讲第一讲 函数、极限、连续函数、极限、连续1、基本初等函数的定义域、值域、图像,尤其是图像包含了函数的所有信息。 2、函数的性质,奇偶性、有界性奇函数:,图像关于原点对称。)()(xfxf偶函数:,图像关于 y 轴对称)()(xfxf3、无穷小量、无穷大量、阶的比较设是自变量同一变化过程中的两个无穷小量,则,(1)若,则是比高阶的无穷小量。0lim(2)若(不为 0) ,则与是同阶无穷小量clim特别地,若,则与是等价无穷小量1lim(3)若,则与是低阶无穷小量lim记忆方法:看谁趋向于 0 的速度快,谁就趋向于 0 的本领高。 4、两个重要极限(1)1 00 xx xxxxsinli
2、msinlim使用方法:拼凑 ,一定保证拼凑 sin 后面和分母保持一致 0 00 sinlimsinlim(2)exxxxxx 10111)(limlim e 101)(lim使用方法 1 后面一定是一个无穷小量并且和指数互为倒数,不满足条件得拼凑。5、 mnmnmnbaXQxPmnx ,lim000-_的最高次幂是 n,的最高次幂是 m.,只比较最高次幂,谁的次幂高,谁的头大,趋向于无穷大的速 xPn xQm度快。,以相同的比例趋向于无穷大;,分母以更快的速度趋向于无穷大;,分子以更快的mn mn mn 速度趋向于无穷大。 7、左右极限 左极限:Axf xx )(lim0右极限:Axf x
3、x )(lim0AxfxfAxf xxxxxx )(lim)(lim)(lim000充充分分必必要要条条件件是是注:此条件主要应用在分段函数分段点处的极限求解。 8、连续、间断连续的定义: 0)()(limlim0000 xfxxfy xx或)()(lim0 0xfxf xx 间断:使得连续定义无法成立的三种情况)()(lim0 0xfxf xx )()(lim)(lim)()(00000 xfxfxfxfxfxxxx不不存存在在无无意意义义不不存存在在,记忆方法:1、右边不存在 2、左边不存在 3、左右都存在,但不相等 9、间断点类型(1) 、第二类间断点:、至少有一个不存在)(lim0xf
4、 xx)(lim0xf xx(2) 、第一类间断点:、都存在)(lim0xf xx)(lim0xf xx )(lim)(lim)(lim)(lim0000 xfxfxfxfxxxxxxxx 跳跳跃跃间间断断点点:可可去去间间断断点点:注:在应用时,先判断是不是“第二类间断点” ,左右只要有一个不存在,就是“第二类”然后再判断是不是第 一类间断点;左右相等是“可去” ,左右不等是“跳跃” 10、闭区间上连续函数的性质(1)最值定理:如果在上连续,则在上必有最大值最小值。)(xfba,)(xfba,(2)零点定理:如果在上连续,且,则在内至少存在一)(xfba,0)()(bfaf)(xfba,点,
5、使得0)(f-_第三讲第三讲 中值定理及导数的应用中值定理及导数的应用1、 罗尔定理如果函数满足:(1)在闭区间上连续;(2)在开区间(a,b)内可导;(3))(xfy ba,,则在(a,b)内至少存在一点,使得)()(bfaf0)(f记忆方法:脑海里记着一幅图:2、 拉格朗日定理如果满足(1)在闭区间上连续)(xfy ba,(2)在开区间(a,b)内可导;则在(a,b)内至少存在一点,使得abafbff)()()(脑海里记着一幅图:ab(*)推论 1 :如果函数在闭区间上连续,在开区间(a,b)内可导,且,那么)(xfy ba,0)( xf在内=C 恒为常数。),(ba)(xf记忆方法:只有
6、常量函数在每一点的切线斜率都为 0。(*)推论 2:如果在上连续,在开区间内可导,且,)(),(xgxfba,),(ba),(),()(baxxgxf那么cxgxf)()(记忆方法:两条曲线在每一点切线斜率都相等 3、 驻点 ab-_满足的点,称为函数的驻点。0)( xf)(xf几何意义:切线斜率为 0 的点,过此点切线为水平线 4、极值的概念设在点的某邻域内有定义,如果对于该邻域内的任一点 x,有,则称为函数)(xf0x)()(0xfxf)(0xf的极大值,称为极大值点。)(xf0x设在点的某邻域内有定义,如果对于该邻域内的任一点 x,有,则称为函数)(xf0x)()(0xfxf)(0xf的
7、极小值,称为极小值点。)(xf0x记忆方法:在图像上,波峰的顶点为极大值,波谷的谷底为极小值。 5、 拐点的概念 连续曲线上,凸的曲线弧与凹的曲线弧的分界点,称为曲线的拐点。注在原点即3xy 是拐点6、 单调性的判定定理设在内可导,如果,则在内单调增加;)(xf),(ba0)( xf)(xf),(ba如果,则在内单调减少。0)( xf)(xf),(ba记忆方法:在图像上凡是和右手向上趋势吻合的,是单调增加,;0)( xf在图像上凡是和左手向上趋势吻合的,是单调减少,;0)( xf7、 取得极值的必要条件可导函数在点处取得极值的必要条件是)(xf0x0)(0 xf8、 取得极值的充分条件 第一充
8、分条件:设在点的某空心邻域内可导,且在处连续,则)(xf0x)(xf0x(1)如果时,; ,那么在处取得极大值;0xx 0)( xf0)(0xfxx时时,)(xf0x)(0xf(2)如果时,;,那么在处取得极小值;0xx 0)( xf0)(0xfxx时时,)(xf0x)(0xf(3)如果在点的两侧,同号,那么在处没有取得极值;0x)(xf )(xf0x-_记忆方法:在脑海里只需记三副图,波峰的顶点为极大值,波谷的谷底为极小值。 第二充分条件:设函数在点的某邻域内具有一阶、二阶导数,且,)(xf0x0)(0 xf0)(0 xf则 (1)如果,那么在处取得极大值;0)(0 xf)(xf0x)(0x
9、f(2)如果,那么在处取得极小值0)(0 xf)(xf0x)(0xf9、 凹凸性的判定设函数在内具有二阶导数, (1)如果,那么曲线在内凹的;)(xf),(ba),(, 0)(baxxf )(xf),(ba(2)如果,那么在内凸的。),(, 0)(baxxf )(xf),(ba图像表现:凹的表现 凸的表现 10、渐近线的概念曲线在伸向无穷远处时,能够逐步逼近的直线,称为曲线的渐近线。)(xf(1)水平渐近线:若,则有水平渐近线Axf x )(lim)(xfy Ay (2) 垂直渐近线:若存在点,则有垂直渐近线0x )(limxf x)(xfy 0xx (2)求斜渐近线:若,则为其斜渐近线。ba
10、xxfaxxfxx )(lim,)(limbaxy-_11、洛必达法则遇到“” 、 “” ,就分子分母分别求导,直至求出极限。00 如果遇到幂指函数,需用把函数变成“” 、 “” 。)(ln)(xfexf00 第二讲第二讲 导数与微分导数与微分 1、 导数的定义(1) 、0)()(limlim)(00000 xfxxfyxf xx(2) 、hxfhxfxf h)()(lim)(0000 (3) 、00 0)()(lim)(0xxxfxfxf xx 注:使用时务必保证后面和分母保持一致,不一致就拼凑。0x2、 导数几何意义:在处切线斜率)(0xf 0xx 法线表示垂直于切线,法线斜率与乘积为1)
11、(0xf 3、 导数的公式,记忆的时候不仅要从左到右记忆,还要从右到左记忆。 4、 求导方法总结 (1) 、导数的四则运算法则 vuvuuvvuvu )(2vuvvu vu (2) 、复合函数求导:是由与复合而成,则 xfy)(ufy )(xu-_dxdu dudy dxdy(3) 、隐函数求导对于,遇到 y,把 y 当成中间变量 u,然后利用复合函数求导方法。0),(yxF(4) 、参数方程求导设确定一可导函数,则 )()( tytx )(xfy )()( ttdtdxdtdydxdy dtdxdtdxdyddxdxdyddxyd)( )(22 (5) 、对数求导法先对等号两边取对数,再对等
12、号两边分别求导 (6) 、幂指函数求导幂指函数,利用公式)()(xvxuy aealn然后利用复合函数求导方法对指数单独求导即可。)(ln)()(ln)(xuxvxueeyxv第二种方法可使用对数求导法,先对等号两边取对数,再对等号两边分别求导 注:优选选择第二种方法。5、 高阶导数对函数多次求导,直至求出。)(xf6、 微分dxydy记忆方法:微分公式本质上就是求导公式,后面加,不需要单独记忆。dx 7、 可微、可导、连续之间的关系 可微可导 可导连续,但连续不一定可导 8、 可导与连续的区别。 脑海里记忆两幅图 (1) (2)-_在 x=0 既连续又可导。 在 x=0 只连续但不可导。2x
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