最新全国各地中考~数学分类-圆综合题(解析版).doc
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1、.2017 年圆中考分类(年圆中考分类(4) 参考答案与试题解析参考答案与试题解析一解答题(共一解答题(共 30 小题)小题) 1 (2017恩施州)如图,AB、CD 是O 的直径,BE 是O 的弦,且 BECD,过点 C 的 切线与 EB 的延长线交于点 P,连接 BC (1)求证:BC 平分ABP; (2)求证:PC2=PBPE;(3)若 BEBP=PC=4,求O 的半径【考点】MC:切线的性质;KD:全等三角形的判定与性质;S9:相似三角形的判定与性 质菁优网版权所有 【分析】 (1)由 BECD 知1=3,根据2=3 即可得1=2; (2)连接 EC、AC,由 PC 是O 的切线且 B
2、EDC,得1+4=90,由A+2=90且A=5 知5+2=90,根据1=2 得4=5,从而证得PBCPCE 即可;(3)由 PC2=PBPE、BEBP=PC=4 求得 BP=2、BE=6,作 EFCD 可得 PC=FE=4、FC=PE=8,再RtDEFRtBCP 得 DF=BP=2,据此得出 CD 的长即可 【解答】解:(1)BECD,1=3, 又OB=OC,2=3, 1=2,即 BC 平分ABP;(2)如图,连接 EC、AC,PC 是O 的切线, PCD=90, 又BEDC,P=90,.1+4=90, AB 为O 直径, A+2=90, 又A=5,5+2=90, 1=2, 5=4, P=P,
3、 PBCPCE,=,即 PC2=PBPE;(3)BEBP=PC=4,BE=4+BP, PC2=PBPE=PB(PB+BE) ,42=PB(PB+4+PB) ,即 PB2+2PB8=0,解得:PB=2, 则 BE=4+PB=6,PE=PB+BE=8, 作 EFCD 于点 F,P=PCF=90, 四边形 PCFE 为矩形,PC=FE=4,FC=PE=8,EFD=P=90, BECD,=,DE=BC, 在 RtDEF 和 RtBCP 中,RtDEFRtBCP(HL) , DF=BP=2, 则 CD=DF+CF=10,O 的半径为 5 【点评】本题主要考查切线的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形
4、的判定与性质, 熟练掌握平行线的性质、切线的性质、圆周角定理、相似三角形的判定与性质及全等三角 形的判定与性质等知识点是解题的关键2 (2017常德)如图,已知 AB 是O 的直径,CD 与O 相切于 C,BECO (1)求证:BC 是ABE 的平分线; (2)若 DC=8,O 的半径 OA=6,求 CE 的长.【考点】MC:切线的性质菁优网版权所有 【分析】 (1)由 BECO,推出OCB=CBE,由 OC=OB,推出OCB=OBC,可得CBE=CBO;(2)在 RtCDO 中,求出 OD,由 OCBE,可得=,由此即可解决问题;【解答】 (1)证明:DE 是切线,OCDE, BECO, O
5、CB=CBE, OC=OB, OCB=OBC, CBE=CBO, BC 平分ABE(2)在 RtCDO 中,DC=8,OC=0A=6,OD=10,OCBE,=,=,EC=4.8【点评】本题考查切线的性质、平行线的性质、角平分线的定义、勾股定理等知识,解题 的关键是灵活运用所学知识解决问题,属于中考常考题型3 (2017遵义)如图,PA、PB 是O 的切线,A、B 为切点,APB=60,连接 PO 并延长 与O 交于 C 点,连接 AC,BC (1)求证:四边形 ACBP 是菱形; (2)若O 半径为 1,求菱形 ACBP 的面积.【考点】MC:切线的性质;LA:菱形的判定与性质菁优网版权所有
6、【分析】 (1)连接 AO,BO,根据 PA、PB 是O 的切线,得到OAP=OBP=90,PA=PB,APO=BPO=APB=30,由三角形的内角和得到AOP=60,根据三角形外角的性质得到ACO=30,得到 AC=AP,同理 BC=PB,于是得到结论; (2)连接 AB 交 PC 于 D,根据菱形的性质得到 ADPC,解直角三角形即可得到结论 【解答】解:(1)连接 AO,BO,PA、PB 是O 的切线,OAP=OBP=90,PA=PB,APO=BPO=APB=30,AOP=60, OA=OC, OAC=OCA, AOP=CAO+ACO, ACO=30, ACO=APO, AC=AP, 同
7、理 BC=PB,AC=BC=BP=AP, 四边形 ACBP 是菱形; (2)连接 AB 交 PC 于 D,ADPC, OA=1,AOP=60,AD=OA=,PD=,PC=3,AB=,菱形 ACBP 的面积=ABPC=.【点评】本题考查了切线的性质,菱形的判定和性质,解直角三角形,等腰三角形的判定, 熟练掌握切线的性质是解题的关键4 (2017大连)如图,AB 是O 直径,点 C 在O 上,AD 平分CAB,BD 是O 的切线, AD 与 BC 相交于点 E (1)求证:BD=BE; (2)若 DE=2,BD=,求 CE 的长【考点】MC:切线的性质;KQ:勾股定理;T7:解直角三角形菁优网版权
8、所有 【分析】 (1) )设BAD=,由于 AD 平分BAC,所以CAD=BAD=,进而求出D=BED=90,从而可知 BD=BE;(2)设 CE=x,由于 AB 是O 的直径,AFB=90,又因为 BD=BE,DE=2,FE=FD=1,由于BD=,所以 tan=,从而可求出 AB=2,利用勾股定理列出方程即可求出 x的值 【解答】解:(1)设BAD=,AD 平分BAC CAD=BAD=, AB 是O 的直径,ACB=90,ABC=902,BD 是O 的切线, BDAB, DBE=2,BED=BAD+ABC=90,D=180DBEBED=90,D=BED, BD=BE (2)设 AD 交O 于
9、点 F,CE=x,连接 BF,AB 是O 的直径, AFB=90, BD=BE,DE=2, FE=FD=1, BD=,.tan=,AC=2xAB=2在 RtABC 中, 由勾股定理可知:(2x)2+(x+)2=(2)2,解得:x=或 x=,CE=;【点评】本题考查圆的综合问题,涉及切线的性质,圆周角定理,勾股定理,解方程等知 识,综合程度较高,属于中等题型5 (2017金华)如图,已知:AB 是O 的直径,点 C 在O 上,CD 是O 的切线,ADCD 于点 D,E 是 AB 延长线上一点,CE 交O 于点 F,连接 OC、AC (1)求证:AC 平分DAO (2)若DAO=105,E=30
10、求OCE 的度数; 若O 的半径为 2,求线段 EF 的长【考点】MC:切线的性质菁优网版权所有 【分析】 (1)由切线性质知 OCCD,结合 ADCD 得 ADOC,即可知DAC=OCA=OAC,从而得证; (2)由 ADOC 知EOC=DAO=105,结合E=30可得答案; 作 OGCE,根据垂径定理及等腰直角三角形性质知 CG=FG=OG,由 OC=2得出 CG=FG=OG=2,在 RtOGE 中,由E=30可得答案 【解答】解:(1)CD 是O 的切线,OCCD, ADCD, ADOC,.DAC=OCA, OC=OA, OCA=OAC, OAC=DAC, AC 平分DAO;(2)ADO
11、C,EOC=DAO=105, E=30, OCE=45; 作 OGCE 于点 G,则 CG=FG=OG,OC=2,OCE=45, CG=OG=2, FG=2, 在 RtOGE 中,E=30,GE=2, 【点评】本题主要考查圆的切线的性质、平行线的判定与性质、垂径定理及等腰直角三角 形性质,熟练掌握切线的性质、平行线的判定与性质、垂径定理及等腰直角三角形性质是 解题的关键6 (2017东营)如图,在ABC 中,AB=AC,以 AB 为直径的O 交 BC 于点 D,过点 D 作O 的切线 DE,交 AC 于点 E,AC 的反向延长线交O 于点 F (1)求证:DEAC; (2)若 DE+EA=8,
12、O 的半径为 10,求 AF 的长度【考点】MC:切线的性质;KH:等腰三角形的性质;KQ:勾股定理;LD:矩形的判定与 性质菁优网版权所有 【分析】 (1)欲证明 DEAC,只需推知 ODAC 即可; (2)如图,过点 O 作 OHAF 于点 H,构建矩形 ODEH,设 AH=x则由矩形的性质推知:AE=10x,OH=DE=8(10x)=x2在 RtAOH 中,由勾股定理知:x2+(x2)2=102,通过解方程得到 AH 的长度,结合 OHAF,得到 AF=2AH=28=16 【解答】 (1)证明:OB=OD,ABC=ODB, AB=AC,.ABC=ACB, ODB=ACB, ODAC DE
13、 是O 的切线,OD 是半径, DEOD, DEAC;(2)如图,过点 O 作 OHAF 于点 H,则ODE=DEH=OHE=90, 四边形 ODEH 是矩形,OD=EH,OH=DE 设 AH=xDE+AE=8,OD=10,AE=10x,OH=DE=8(10x)=x2在 RtAOH 中,由勾股定理知:AH2+OH2=OA2,即 x2+(x2)2=102,解得 x1=8,x2=6(不合题意,舍去) AH=8 OHAF,AH=FH=AF,AF=2AH=28=16【点评】本题考查了切线的性质,勾股定理,矩形的判定与性质解题时,利用了方程思 想,属于中档题7 (2017湖州)如图,O 为 RtABC
14、的直角边 AC 上一点,以 OC 为半径的O 与斜边 AB 相切于点 D,交 OA 于点 E已知 BC=,AC=3 (1)求 AD 的长; (2)求图中阴影部分的面积.【考点】MC:切线的性质;MO:扇形面积的计算菁优网版权所有【分析】 (1)首先利用勾股定理求出 AB 的长,再证明 BD=BC,进而由 AD=ABBD 可求出;(2)利用特殊角的锐角三角函数可求出A 的度数,则圆心角DOA 的度数可求出,在直 角三角形 ODA 中求出 OD 的长,最后利用扇形的面积公式即可求出阴影部分的面积 【解答】解: (1)在 RtABC 中,BC=,AC=3AB=2,BCOC, BC 是圆的切线, O
15、与斜边 AB 相切于点 D, BD=BC,AD=ABBD=2=;(2)在 RtABC 中,sinA=,A=30, O 与斜边 AB 相切于点 D, ODAB,AOD=90A=60,=tanA=tan30,=,OD=1,S阴影=【点评】本题考查了切线的性质定理、切线长定理以及勾股定理的运用,熟记和圆有关的 各种性质定理是解题的关键8 (2017邵阳)如图所示,直线 DP 和圆 O 相切于点 C,交直径 AE 的延长线于点 P过点 C 作 AE 的垂线,交 AE 于点 F,交圆 O 于点 B作平行四边形 ABCD,连接 BE,DO,CO.(1)求证:DA=DC; (2)求P 及AEB 的大小【考点
16、】MC:切线的性质;L5:平行四边形的性质菁优网版权所有 【分析】 (1)欲证明 DA=DC,只要证明 RtDAORtDCO 即可; (2)想办法证明P=30即可解决问题; 【解答】 (1)证明:在平行四边形 ABCD 中,ADBC,CBAE, ADAE, DAO=90, DP 与O 相切于点 C, DCOC, DCO=90, 在 RtDAO 和 RtDCO 中,RtDAORtDCO, DA=DC(2)CBAE,AE 是直径,CF=FB=BC,四边形 ABCD 是平行四边形,AD=BC,CF=AD,CFDA, PCFPDA,=,PC=PD,DC=PD,DA=DC,DA=PD,在 RtDAP 中
17、,P=30,DPAB,.FAB=P=30, AE 是O 的直径, ABE=90, AEB=60【点评】本题考查切线的性质、平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质、直角三角 形中 30 度角的判定、全等三角形的判定和性质等知识,解题的关键是正确寻找全等三角形 或相似三角形解决问题,属于中考常考题型9 (2017温州)如图,在ABC 中,AC=BC,ACB=90,O(圆心 O 在ABC 内部)经 过 B、C 两点,交 AB 于点 E,过点 E 作O 的切线交 AC 于点 F延长 CO 交 AB 于点 G,作EDAC 交 CG 于点 D (1)求证:四边形 CDEF 是平行四边形; (2)若 BC
18、=3,tanDEF=2,求 BG 的值【考点】MC:切线的性质;L7:平行四边形的判定与性质;T7:解直角三角形菁优网版 权所有 【分析】 (1)连接 CE,根据等腰直角三角形的性质得到B=45,根据切线的性质得到FEO=90,得到 EFOD,于是得到结论; (2)过 G 作 GNBC 于 N,得到GMB 是等腰直角三角形,得到 MB=GM,根据平行四边 形的性质得到FCD=FED,根据余角的性质得到CGM=ACD,等量代换得到CGM=DEF,根据三角函数的定义得到 CM=2GM,于是得到结论 【解答】解:(1)连接 CE, 在ABC 中,AC=BC,ACB=90,B=45, COE=2B=9
19、0, EF 是O 的切线,.FEO=90, EFOC, DECF, 四边形 CDEF 是平行四边形;(2)过 G 作 GNBC 于 N,GMB 是等腰直角三角形, MB=GM, 四边形 CDEF 是平行四边形,FCD=FED, ACD+GCB=GCB+CGM=90, CGM=ACD, CGM=DEF, tanDEF=2,tanCGM=2,CM=2GM, CM+BM=2GM+GM=3, GM=1, BG=GM=【点评】本题考查了切线的性质,平行四边形的判定和性质,等腰直角三角形的判定和性 质,解直角三角形,正确的作出辅助线是解题的关键10 (2017随州)如图,在 RtABC 中,C=90,AC
20、=BC,点 O 在 AB 上,经过点 A 的O 与 BC 相切于点 D,交 AB 于点 E (1)求证:AD 平分BAC; (2)若 CD=1,求图中阴影部分的面积(结果保留 ) .【考点】MC:切线的性质;KF:角平分线的性质;KW:等腰直角三角形;MO:扇形面积 的计算菁优网版权所有 【分析】 (1)连接 DE,OD利用弦切角定理,直径所对的圆周角是直角,等角的余角相 等证明DAO=CAD,进而得出结论; (2)根据等腰三角形的性质得到B=BAC=45,由 BC 相切O 于点 D,得到ODB=90, 求得 OD=BD,BOD=45,设 BD=x,则 OD=OA=x,OB=x,根据勾股定理得
21、到 BD=OD= ,于是得到结论 【解答】 (1)证明:连接 DE,ODBC 相切O 于点 D, CDA=AED, AE 为直径, ADE=90, ACBC, ACD=90, DAO=CAD, AD 平分BAC;(2)在 RtABC 中,C=90,AC=BC,B=BAC=45, BC 相切O 于点 D, ODB=90, OD=BD,BOD=45, 设 BD=x,则 OD=OA=x,OB=x,BC=AC=x+1, AC2+BC2=AB2, 2(x+1)2=(x+x)2, x=, BD=OD=,图中阴影部分的面积=SBODS扇形 DOE=1【点评】本题主要考查了切线的性质,角平分线的定义,扇形面积
22、的计算和勾股定理熟 练掌握切线的性质是解题的关键11 (2017河北)如图,AB=16,O 为 AB 中点,点 C 在线段 OB 上(不与点 O,B 重合) ,将 OC 绕点 O 逆时针旋转 270后得到扇形 COD,AP,BQ 分别切优弧于点 P,Q,且点P,Q 在 AB 异侧,连接 OP.(1)求证:AP=BQ;(2)当 BQ=4时,求的长(结果保留 ) ;(3)若APO 的外心在扇形 COD 的内部,求 OC 的取值范围【考点】MC:切线的性质;MN:弧长的计算;R2:旋转的性质菁优网版权所有 【分析】 (1)连接 OQ只要证明 RtAPORtBQO 即可解决问题; (2)求出优弧 DQ
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