2019年模拟题谈虚设零点消元法在导数压轴大题中的应用-以.docx
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1、 谈虚设零点消元法在导数压轴大题中的应用-以 2019年几道地市模拟题为例在高考的导数压轴题中,经常会遇到导函数具有零点但求解又相对比较复 杂甚至是无法求解的问题,这个时候,从正面去强求函数的零点值是很困难的, 我们不妨只须设出函数的零点,然后利用其满足的关系式,谋求一种整体的替换 和过渡,往往会给我们带来意向不到的效果,最后再结合题目的其他条件,就可 以很快解决这类问题。对于最近的几道地市模拟题的导数压轴题,我们发现它们用的好像都是同一个方法-虚设零点消元法,只分析第一道,其他同理,顺便再看看之前曾经出现过的两道经典题一、【2019合肥一模理科 21】 二、【2019顺德三模理科 21】 三
2、、【2019佛山 3月统考(北京燕博园)理科 21】 四、【2019广州一模理科 21】 五、【2019广东模拟理科 21】 六、【2018广州二模理科 21】 七、【2013全国二卷理科 21】一、【2019合肥一模理科 21】21(本小题满分 12分) 已知函数 f (x) e ln(x 1) (e为自然对数的底数)x()求函数 f (x)的单调区间; ()若 g(x) f (x) ax,aR,试求函数 g(x)极小值的最大值1解析:()易知 x 1,且 f (x) ex.x 1 【求一阶导数发现是超越函数,无法确定导数的零点】 11令h(x) ex,则h(x) ex2 0,x 1(x 1
3、) 【进一步求二阶导数,发现二阶导数恒大于0,说明一阶导数递增】 1函数h(x) ex在 x(1,)上单调递增,且h(0) f (0) 0.x 1 【找到一阶导数的一个零点,而且是唯一的由负变正的零点,从而确定单调区间】 可知,当 x(1,0)时,h(x) f (x) 0, f (x) ex ln(x 1)单调递减;当 x(0,)时,h(x) f (x) 0, f (x) ex ln(x 1)单调递增.函数 f (x)的单调递减区间是(1,0),单调递增区间是(0,).【反思:有的学生提出,我们很容易就观察得到了 h(0) f (0) 0.但是,对于1一般的超越函数,如果无法观察得到函数的零点
4、,也无法求解函数零点的时候, 我们该怎么办呢?这个问题,实际上就是我们第二问要解决的问题,解决的办 法是:虚设零点,消元求值】() g(x) f (x) ax ex ln(x 1) ax, g(x) f (x) a.由()知, g(x)在 x(1,)上单调递增,当 x 1时, g(x) ;当x 时, g(x) ,则 g(x) 0有唯一解 x0.【对于导函数 g(x) f (x) a 端可以取到正无穷和负无穷,所以导函数在定义域内有唯一的零点,这时可以,我们无法求解其零点,但由于导函数在定义域两设这个唯一的零点为 x0】可知,当 x(1,x0)时, g(x) 0,g(x) exln(x 1) a
5、x单调递减; ln(x 1) ax单调递增, g x ex0当 x(x0,)时, g(x) 0,g(x) ex函数 g(x)在 x x0处取得极小值 ( )ln(x 1) ax0,00【设完零点 x0后,我们可以进一步确定这个零点的性质,发现它恰好是 g(x)的极小值,而这时候我们又需要求这个极小值 g(x0)的最大值,这时可以利用1e 0x ag(x0) 0的代换,也就是x0 1,从而可以消去字母 a】11且 x0满足e 0x a. g(x0) (1 x0)e x0 ln(x0 1) 1.x0 1x0 111令(x) (1 x)exln(x 1) 1,则(x) x exx 1(x 1)2【最
6、后要求的最大值就转变为只含有一个变量的函数,从而把问题转化为求函 数的最大值】可知,当 x(1,0)时,(x) 0,(x)单调递增; 当 x(0,)时,(x) 0,(x)单调递减,(x)max (0) 1. 函数 g(x)极小值的最大值为1.2二、【2019顺德三模理科 21】21(本小题满分 12分)已知函数 f (x) 1 x (a 1)x aln x 2 2(1)当a 1时,求 f (x)的单调递增区间;(2)证明:当 1 a 0时, f (x)有两个零点; 2 ( 3)若 a 1,函数 g(x) f (x)在 x x0处取得最小值,证明:2x0 f (x0) (e1)(e a) (x
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- 2019 模拟 虚设 零点 消元法 导数 压轴 中的 应用
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