2019高中数学 第二章 函数概念与基本初等函数I 2.6 函数的奇偶性和周期性学案 苏教版必修1.doc
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1、1函数的奇偶性和周期性函数的奇偶性和周期性函数的奇偶性和周期性(一)函数的奇偶性和周期性(一) 一、考点突破一、考点突破 1. 判断函数的奇偶性和周期性; 2. 函数性质的综合应用。二、重难点提示二、重难点提示 重点:重点:结合函数图象理解函数的奇偶性、周期性; 难点:难点:函数性质的综合应用。函数的奇偶性和周期性(二)函数的奇偶性和周期性(二) 一、考点突破一、考点突破 1. 函数奇偶性、周期性的重要特征与性质; 2. 函数性质的综合应用。二、重难点提示二、重难点提示 重点:重点:函数奇偶性、周期性的判断,及它们之间的关系; 难点:难点:利用数形结合思想数形结合思想解决函数的综合问题。函数的
2、奇偶性和周期性(一)函数的奇偶性和周期性(一) 函数的奇偶性奇函数偶函数一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意任意一个x,定 义都有)()(xfxf,那么函数f(x)就叫做奇函数奇函数。都有)()(xfxf,那么函数f(x)就叫做偶函数。偶函数。图 象 描 述图象是关于原点对称的图象是关于y轴对称的2注注 意意1. 判断函数的奇偶性奇偶性时,先判断函数的定义域定义域; 重要提示:重要提示:函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提。 2. 奇函数的图象关于原点原点对称,偶函数的图象关于y y轴轴对称。思考:思考:若函数若函数)(xf是奇函数,且在是奇函数,且在0x处有定义,则处有定义,
3、则)0(f_,为什么?,为什么?解析:0 与 0 互为相反数, 又函数)(xf为奇函数,)0()0(ff,0)0(2f,0)0(f。 函数的周期性 1. 周期函数 对于函数yf(x) ,如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的任何值时,都 有f(xT)f(x) ,那么就称函数yf(x)为周期函数,称T为这个函数的周期。 2. 最小正周期 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小的正数就叫 做f(x)的最小正周期。函数的奇偶性和周期性(二)函数的奇偶性和周期性(二) 函数奇偶性的性质 1. 若奇函数f(x)在x0 处有定义,则f(0)0;若f(x)为偶函数,则()(
4、 )()fxf xfx.2. 设f(x) ,g(x)的定义域分别是D1,D2,那么在它们的公共定义域上:示例示例 (重庆高考改编)设函数( )f x、( )g x的定义域都为 R,且( )f x是奇函数,( )g x是偶函数。则:( )f x( )g x是 奇 函数; |( )|( )f xg x是 偶 函数;( )|( )|f xg x是 奇 函数;|( ) ( )|f x g x是 偶 函数.3. 奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性,则其单调性在对称区间上完全相同; 偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性,则其单调性在对称区间上恰恰相反。 周期函数的特征与性质 1. 如果T是函数yf(
5、x)的周期,则kT(kZ Z 且k0)也是yf(x)的周期,即 f(xkT)f(x) 。 2. 当0, 0ba时: aTxfaxf2)()(;aTxfaxf2)(1)(;奇奇奇;奇奇偶偶偶偶;偶偶偶奇偶奇3baTbxfaxf)()(。函数的奇偶性和周期性(一)函数的奇偶性和周期性(一) 例题例题 1 1 判断下列函数的奇偶性: (1)f(x);9x2x29(2)f(x)(x1) .1x 1x思路分析:思路分析:确定函数的奇偶性时,必须先判定函数定义域是否关于原点对称。若对称, 再验证f(x)f(x)或其等价形式f(x)f(x)0 是否成立。答案:答案:解:(1)由090922xx,得x3。f(
6、x)的定义域为3,3。 又f(3)f(3)0,f(3)f(3)0。 即f(x)f(x) 。 f(x)既是奇函数,又是偶函数。(2)由 01011xxx,得11x。f(x)的定义域(1,1不关于原点对称。 f(x)既不是奇函数,也不是偶函数。 技巧点拨:技巧点拨:判断函数的奇偶性,其中包括两个必备条件: (1)定义域关于原点对称。这是函数具有奇偶性的必要不充分条件,所以首先考虑定 义域对解决问题是有利的; (2)判断f(x)与f(x)是否具有等量关系。在判断奇偶性的运算中,可以转化 为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)f(x)0(奇函数)或f(x)f(x) 0(偶函数)是否成立。例题例题 2
7、2 设f(x)是定义在 R R 上的奇函数,且对任意实数x,恒有f(x2) f(x) 。当x0,2时,f(x)2xx2。 (1)求证:f(x)是周期函数; (2)当x2,4时,求f(x)的解析式。 思路分析:思路分析:(1)只须证明f(xT)f(x) ,即可说明f(x)是周期函数; (2)由f(x)在0,2上的解析式求得f(x)在2,0上的解析式,进而求 f(x)在2,4上的解析式。 答案:答案:(1)证明:f(x2)f(x) , f(x4)f(x2)f(x) 。 f(x)是周期为 4 的周期函数。 (2)解:x2,4,x4,2, 4x0,2,又当 2 , 0x时,22)(xxxf,f(4x)
8、2(4x)(4x)2x26x8,4又f(4x)f(x)f(x) , f(x)x26x8, 即f(x)x26x8,x2,4。 技巧点拨:技巧点拨:对于周期函数在特定区间上的二次函数的求法,要善于转化区间,利用已 知区间上的函数的解析式来求未知区间上的二次函数的解析式。函数的奇偶性和周期性(二)函数的奇偶性和周期性(二)例题例题 1 1 设)(xf是定义在R上的偶函数,其图象关于直线1x对称,对任意的1x,2x21, 0,都有)()()(2121xfxfxxf.(1)设2) 1 (f,求)21(f,)41(f;(2)证明)(xf是周期函数。思路分析:思路分析:(1)灵活赋值,令2121 xx代入到
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