2019高中数学 第二章 推理与证明 第3节 数学归纳法习题 理 苏教版选修2-2.doc
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1、1第第 3 3 节节数学归纳法数学归纳法(答题时间:(答题时间:6060 分钟)分钟)一、选择题1. 用数学归纳法证明等式) 12(312)()2() 1(nnnnnn,从k到k1 左端需增乘的代数式为 ( )A. 2k1 B. 2(2k1) C. D. 2k1 k12k3 k12. 用数学归纳法证明“1 n(nN*,n1) ”时,由nk(k1)1 21 31 2n1不等式成立,推证nk1 时,左边应增加的项数是 ( )A. 2k1 B. 2k1 C. 2k D. 2k13. 对于不等式n1(nN*) ,某同学的证明过程如下:n2n(1)当n1 时,11,不等式成立。121(2)假设当nk(k
2、N*)时,不等式成立,即k1,k2k则当nk1 时,(k1)2(k1)k23k2(k23k2)(k2)(k1)1,(k2)2当nk1 时,不等式成立。则上述证法 ( )A. 过程全部正确B. n1 验得不正确C. 归纳假设不正确D. 从nk到nk1 的推理不正确4. 下列代数式(其中kN*)能被 9 整除的是 ( )A. 667k B. 27k1 C. 2(27k1) D. 3(27k)5. 已知 123332433n3n13n(nab)c对一切nN*都成立,则a、b、c的值为 ( )A. a ,bc B. abc1 21 41 4C. a0,bc D. 不存在这样的a、b、c1 46. 在数
3、列an中,a1 ,且Snn(2n1)an,通过求a2,a3,a4,猜想an的表达式1 3是( )A. B. C. D. 1 (n1)(n1)1 2n(2n1)1 (2n1)(2n1)1 (2n1)(2n2)二、填空题 7. 猜想 11,14(12),149123,第n个式子为 _。28. 如图,第n个图形是由正n2 边形“扩展”而来(n1,2,3,) ,则第 n2(n3,nN*)个图形中共有_个顶点。9. 设平面内有n条直线(n3) ,其中有且仅有两条直线互相平行,任意三条直线不过 同一点。若用f(n)表示这n条直线交点的个数,则f(4)_;当n4 时, f(n)_(用n表示) 。三、解答题1
4、0. 已知点Pn(an,bn)满足an1anbn1,bn1(nN*) ,且点P1的坐标为bn 14a2n(1,1) 。(1)求过点P1,P2的直线l的方程;(2)试用数学归纳法证明:对于nN*,点Pn都在(1)中的直线l上。11. 数列an满足a11,a22,an2(1cos2)ansin2,n1,2,3,n 2n 2(1)求a3,a4,并求数列an的通项公式;(2)设bn,Snb1b2bn。证明:当n6 时,|Sn2| 。a2n1 a2n1 n12. 设数列an的前n项和为Sn,且方程x2anxan0 有一根为Sn1,n1,2,3,。(1)求a1,a2;(2)猜想数列Sn的通项公式,并给出严
5、格的证明。31. B 解析:当n1 时,等式显然成立。当nk时,左边 (k1)(k2)(kk) ,当nk1 时,左边 (k11)(k12)(k1k) (k1k1)(k2) (k3)(kk)(k1k) (k1k1)(k1) (k2)(kk)(k1)(2k1)(2k2) k1(k2)(kk)2(2k1) 。2. C 解析:增加的项数为(2k11)(2k1)2k12k2k。3. D 解析:用数学归纳法证题的关键在于合理运用归纳假设。4. D 解析:(1)当k1 时,显然只有 3(27k)能被 9 整除。(2)假设当kn(nN*)时,命题成立,即 3(27n)能被 9 整除,那么3(27n1)21(2
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