2019高中数学 第二章2.3 平面向量的基本定理及坐标表示 2.3.4 平面向量共线的坐标表示学案4.doc
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1、12.3.42.3.4 平面向量共线的坐标表示平面向量共线的坐标表示学习目标:1.理解用坐标表示两向量共线的条件(难点)2.能根据平面向量的坐标,判断向量是否共线;并掌握三点共线的判断方法(重点)3.两直线平行与两向量共线的判定(易混点)自 主 预 习探 新 知平面向量共线的坐标表示(1)设a a(x1,y1),b b(x2,y2),其中b0b0,a a,b b共线,当且仅当存在实数,使a ab b.(2)如果用坐标表示,可写为(x1,y1)(x2,y2),当且仅当x1y2x2y10 时,向量a a,b b(b0b0)共线基础自测1思考辨析(1)向量(1,2)与向量(4,8)共线( )(2)向
2、量(2,3)与向量(4,6)反向( )(3)若a a(x1,y1),b b(x2,y2)且b b0,则.( )x1 x2y1 y2解析 (1)正确因为(4,8)4(1,2),所以向量(1,2)与向量(4,8)共线(2)正确因为(4,6)2(2,3),所以向量(2,3)与向量(4,6)反向(3)错误当x2y20 时.x1 x2y1 y2答案 (1) (2) (3)2下列各对向量中,共线的是( )Aa a(2,3),b b(3,2)Ba a(2,3),b b(4,6)Ca a(,1),b b(1,)22Da a(1,),b b(,2)22D D A,B,C 中各对向量都不共线,D 中b ba a,
3、两个向量共线23已知a a(3,2),b b(6,y),且a ab b,则y_.4 a ab b, ,解得y4.6 3y 2合 作 探 究攻 重 难判定直线平行、三点共线(1)已知A,B,C三点共线,且A(3,6),B(5,2),若C点的横坐标为6,则C点的纵坐标为( )A13 B9 2C9 D13(2)已知A(1,1),B(1,3),C(1,5),D(2,7),向量与平行吗?直线AB平行ABCD于直线CD吗?思路探究 (1)设C点的坐标由ABAC列方程求坐标(2)判定向量AB与CD平行两向量上的相关点不共线(1 1)C C (1)设C(6,y),ABAC又(8,8),(3,y6),ABAC8
4、(y6)380,y9.(2)解 (1(1),3(1)(2,4),AB(21,75)(1,2)CD又 22410,.ABCD又(2,6),(2,4),ACAB24260,A,B,C不共线,AB与CD不重合,ABCD.规律方法 向量共线的判定方法提醒:向量共线的坐标表达式极易写错,如写成x1y1x2y20 或x1x2y1y20 都是不对的,因此要理解并记熟这一公式,可简记为:纵横交错积相减跟踪训练1已知A(1,3),B,C(9,1),求证:A,B,C三点共线. (8,1 2)【导学号:84352230】3证明 ,(91,13)(8,4),AB(81,1 23) (7,7 2)AC74 80,7 2
5、,且,有公共点A,ABACABACA,B,C三点共线.已知平面向量共线求参数已知a a(1,21,2),b b(3,23,2),当k为何值时,ka ab b与a a3b3b平行?平行时它们是同向还是反向? 【导学号:84352231】思路探究 法一:可利用b b与非零向量a a共线等价于b ba a(0,b b与a a同向;0,b b与a a反向)求解;法二:可先利用坐标形式的等价条件求k,再利用b ba a判定同向还是反向解 法一:(共线向量定理法)ka ab bk(1,2)(3,2)(k3,2k2),a a3b3b(1,2)3(3,2)(10,4),当ka ab b与a a3b3b平行时,
6、存在唯一实数,使ka ab b(a a3b3b)由(k3,2k2)(10,4),所以Error!解得k .1 3当k 时,ka ab b与a a3b3b平行,这时ka ab ba ab b (a a3b3b),1 31 1 3 31 1 3 3因为 0,1 3所以ka ab b与a a3b3b反向法二:(坐标法)由题知ka ab b(k3,2k2),a a3b3b(10,4),因为ka ab b与a a3b3b平行,所以(k3)(4)10(2k2)0,解得k .1 3这时ka ab b (a a3b3b),(1 33,2 32)1 3所以当k 时,ka ab b与a a3b3b平行,并且反向1
7、 3规律方法 利用向量平行的条件处理求值问题的思路:4(1)利用共线向量定理a ab b(b b0)列方程组求解(2)利用向量平行的坐标表达式x1y2x2y10 直接求解跟踪训练2已知a a(1,1),b b(x2,x)且a ab b,则实数的最小值是_ 因为a ab b,所以x2x0,1 4即x2x2 ,(x1 2)1 41 4所以的最小值为 .1 4向量共线的综合应用(1)已知向量a a(cos ,2),b b(sin ,1),且a ab b,则 2sin cos 等于( )A3 B3C D4 54 5(2)如图 2318 所示,已知点A(4,0),B(4,4),C(2,6),求AC与OB
8、的交点P的坐标. 【导学号:84352232】图 2318思路探究 (1)先由a ab b推出 sin 与 cos 的关系,求 tan ,再用“1”的代换求 2sin cos .(2)要求点P的坐标,只需求出向量的坐标,由与共线得到,利用与OPOPOBOPOBAP共线的坐标表示求出即可;也可设P(x,y),由及,列出关于x,y的ACOPOBAPAC方程组求解(1 1)C C (1)因为a ab b,所以 cos 1(2)sin 0 即 cos 2sin ,tan ,1 2所以 2sin cos 2sin cos sin2cos22tan tan215 .2 (1 2)(1 2)214 5(2)
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